1977-山东B-07 解-平行四边形证直角

本题导读

本题考查平行四边形中的角度证明。核心在于由 $AM=AD$、$MB=BC$ 得两组等腰三角形，再用平行线转移角，把 $\angle DMC$ 表为 $\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle BCD)=\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（1977年山东B卷） 平行四边形 $ABCD$ 的两邻边之比为 $1:2$，$M$ 为大边 $AB$ 的中点，连接 $MD$，$MC$，求证：$\angle DMC=\frac{\pi }{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$AB:AD=2:1$ 且 $AM=\frac{1}{2}AB$ 得 $AM=AD$，等腰得 $\angle ADM=\angle AMD$；由 $AB\parallel DC$ 转移得 $\angle MDC=\frac{1}{2}\angle ADC$；同理由 $MB=BC$ 得 $\angle MCD=\frac{1}{2}\angle BCD$；两半角相加即 $\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AB:AD=2:1$，$AM=\frac{1}{2}AB$，所以 $AM=AD$。所以 $\angle ADM=\angle AMD$。又因为 $AB\parallel DC$，且 $A$，$M$，$B$ 三点共线，所以 $\angle AMD=\angle MDC$。因此 $\angle MDC=\frac{1}{2}\angle ADC$。 又因为 $M$ 为 $AB$ 的中点，所以 $MB=AM$。而平行四边形 $ABCD$ 中 $AD=BC$，又已知 $AM=AD$，所以 $MB=BC$。因此 $△MBC$ 为等腰三角形，$\angle BMC=\angle MCB$。又因为 $MB\parallel DC$，所以 $\angle BMC=\angle MCD$。因此 $\angle BCD=\angle MCB+\angle MCD=2\angle MCD$，即 $\angle MCD=\frac{1}{2}\angle BCD$。 $\angle MDC+\angle MCD=\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle BCD)=\frac{1}{2}\pi =\frac{\pi }{2}$。 在 $△DMC$ 中，$\angle DMC=\pi -(\angle MDC+\angle MCD)=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$。 所以 $\angle DMC=\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行四边形证直角

核心方法：等腰+平行转移角

避坑指南：$AM=AD$ 与 $MB=BC$ 两组等腰，把 $\angle DMC$ 表为两半角之和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$\angle DMC=\frac{\pi }{2}$

方法推广：两组等腰各分半

🔗【关联脉络】

Multi column

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