1980-全国理-02 解-三圆外切与直角三角形

本题导读

本题考查两圆外切时圆心距等于半径之和，以及对勾股定理逆定理的应用。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 2. 半径为 $1$、$2$、$3$ 的三个圆两两外切. 证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

🔍【思路分析】

破题导航

设三圆心为 $O_1,O_2,O_3$，半径分别为 $1,2,3$；由外切得圆心距 $O_1{O}_2=3$，$O_1{O}_3=4$，$O_2{O}_3=5$，因 $3^2+4^2=5^2$ 得证。

✅【答案】

Success

设圆心距分别为 $3,4,5$，由 $3^2+4^2=5^2$ 知三角形为直角三角形（直角在 $O_1$ 处）

✍【详细解析】

Abstract

设三个圆的圆心分别为 $O_1,O_2,O_3$，相应半径分别为 $1,2,3$。由两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，得 $O_1{O}_2=1+2=3$，$O_1{O}_3=1+3=4$，$O_2{O}_3=2+3=5$。因为 $3^2+4^2=5^2$，所以由勾股定理的逆定理，$△O_1{O}_2{O}_3$ 是直角三角形，直角在 $O_1$ 处。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三圆外切与直角三角形

核心方法：圆心距与勾股定理逆定理

避坑指南：外切时圆心距=半径和，得 $3,4,5$ 后逆用勾股定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与圆的位置关系

结论推广：外切时圆心距等于半径之和

方法推广：勾股定理逆定理判定直角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-云南-03 解-两圆相切证垂直
• 1977-河南-05 解-正方形全等证垂直