1977-江西-21 解-抛物线围成面积定积分

本题导读

本题考查定积分求曲边梯形面积（附加题）。核心在于直线 $AB$ 写成 $x=2-y$，以 $y$ 为积分变量从 $-2$ 积到 $1$，被积函数为 $(2-y)-y^2$。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） 已知抛物线 $y^2=x$ 上两点 $A(1,1)$，$B(4,-2)$，求直线 $AB$ 与抛物线 $y^2=x$ 所围成的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

由两点式写直线 $AB$：$\frac{y-1}{x-1}=\frac{-2-1}{4-1}$，即 $x=2-y$；抛物线 $x=y^2$；右减左积分 ${\int }_{-2}^1(2-y-y^2)dy$。

✅【答案】

Success

$S=\frac{9}{2}$（即 $4\frac{1}{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

直线 $AB$ 的方程是 $\frac{y-1}{x-1}=\frac{-2-1}{4-1}$，即 $x=2-y$。 因此直线 $AB$ 和抛物线 $y^2=x$ 所围成的面积是 $S={\int }_{-2}^1(2-y-y^2)dy=\left(2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right){|}_{-2}^1$， $S=\left(2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(-4-2+\frac{8}{3}\right)=\frac{7}{6}-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$（即 $4\frac{1}{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线围成面积定积分

核心方法：以 $y$ 为积分变量

避坑指南：直线 $x=2-y$ 减抛物线 $x=y^2$，从 $-2$ 积到 $1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面积

结论推广：$S=\frac{9}{2}$

方法推广：选对积分变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-13 解-定积分求面积
• 1995-上海文-22B 解-二次函数与定积分求面积