1977-广西文-05 解-抛物线桥孔撑梁

本题导读

本题考查抛物线应用。核心在于顶点建系 $x^2=-2py$，用跨度端点定 $p$，撑梁长等于桥孔高减纵坐标。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(文)） 已知桥的一孔为抛物线型（如图），跨度 $AB=12$ 米，桥孔高 $PO=4$ 米，建桥时每隔2米一个撑梁，求撑梁 $C_1{D}_1$，$C_2{D}_2$，$C_3{D}_3$，$C_4{D}_4$ 各应取多长？

🔍【思路分析】

破题导航

顶点为原点建系：$x^2=-2py$ 过 $(6,-4)$ 得 $p=\frac{9}{2}$；$D_3(2,-\frac{4}{9})$、$D_4(4,-\frac{16}{9})$；撑梁 $=4-y_D$。

✅【答案】

Success

$C_1{D}_1=C_4{D}_4=2\frac{2}{9}$ 米；$C_2{D}_2=C_3{D}_3=3\frac{5}{9}$ 米

✍【详细解析】

Abstract

以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为 $y$ 轴建立直角坐标系，则抛物线方程为 $x^2=-2py$。因为 $B$ 点的坐标是 $(6,-4)$，所以 $6^2=-2p(-4)$，解得 $p=\frac{9}{2}$。抛物线的方程为 $x^2=-9y$。因此得 $D_3$ 的坐标为 $\left(2,-\frac{4}{9}\right)$，$D_4$ 的坐标为 $\left(4,-\frac{16}{9}\right)$。$|C_3{D}_3|=4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}=3\frac{5}{9}$ 米，$|C_4{D}_4|=4-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}=2\frac{2}{9}$ 米。由抛物线的对称性，还有 $|C_1{D}_1|=2\frac{2}{9}$ 米，$|C_2{D}_2|=3\frac{5}{9}$ 米。答：撑梁 $C_1{D}_1$，$C_4{D}_4$ 长是 $2\frac{2}{9}$ 米；$C_2{D}_2$，$C_3{D}_3$ 长是 $3\frac{5}{9}$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线桥孔撑梁

核心方法：建系设抛物线

避坑指南：$x^2=-2py$ 过 $(6,-4)$ 得 $p=\frac{9}{2}$；对称取两根撑梁

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线应用

结论推广：$C_1{D}_1=C_4{D}_4=2\frac{2}{9}$ 米；$C_2{D}_2=C_3{D}_3=3\frac{5}{9}$ 米

方法推广：顶点建系横坐标即撑梁位置

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-江西-21 解-抛物线围成面积定积分
• 1977-广东-09 解-排版用纸最省