1977-广西百色理-11 解-弓形内接正方形

本题导读

本题考查弓形内接正方形。核心在于对称轴定位：$ON=5+x$、$NE=\frac{x}{2}$，在直角三角形勾股列方程。

📌【题干】

Question

（1977年广西百色卷(理)） 求内接于半径为10厘米，圆心角为 $120^{\circ }$ 的弓形的正方形的边长.

🔍【思路分析】

破题导航

作 $OP\perp FE$ 平分弦与弧；直角 $△OMB$ 中 $OM=10\cos 60^{\circ }=5$；设边长 $x$，$ON=5+x$、$NE=\frac{x}{2}$，勾股 $(5+x{)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=100$。

✅【答案】

Success

正方形边长约为4.7 cm

✍【详细解析】

Abstract

如图，$CDEF$ 是内接于半径为10厘米、圆心角为 $120^{\circ }$ 的弓形的正方形。作半径 $OP\perp FE$，交 $FE$ 于 $N$，$AB$ 于 $M$，则 $OP$ 平分 $EF$，也平分 $AB$ 及 $\angle AOB$。在直角 $△OMB$ 中，$\angle BOM=60^{\circ }$，$OB=10$ cm，所以 $OM=10\cos 60^{\circ }=5$ cm。设正方形 $CDEF$ 的边长为 $x$，则 $MN=x$，$NE=\frac{1}{2}x$。连结 $OE$，在直角 $△ONE$ 中，$OE=10$ cm，$NE=\frac{1}{2}x$，$ON=5+x$。所以 $(5+x{)}^2+{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2=10^2$，即 $x^2+8x-60=0$。解得 $x=\frac{-8\pm \sqrt{304}}{2}\approx \frac{-8\pm 17.4}{2}$，所以 $x_1\approx 4.7$ cm，$x_2\approx -12.7$ cm（不合题意，舍去）。故内接于半径为10 cm、圆心角为 $120^{\circ }$ 的弓形的正方形边长约为4.7 cm。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弓形内接正方形

核心方法：对称轴+勾股列方程

避坑指南：$ON=5+x$、$NE=\frac{x}{2}$，$OE=10$ 勾股

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何计算

结论推广：边长约4.7 cm

方法推广：弓形问题对称轴定位

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-江西-15 填-圆内接正多边形
• 1977-广西百色文-08 解-鸡场面积最大