1977-山西-06 解-韦达定理与三角

本题导读

本题考查韦达定理与正切和角公式。核心在于由两根和与积求第三角。

📌【题干】

Question

（1977年山西卷） $△ABC$ 的三个内角是 $\alpha ,\beta ,\gamma$，而 $\tan \alpha$、$\tan \beta$ 是方程 $x^2-5x+6=0$ 的两个根，求 $\gamma$.

🔍【思路分析】

破题导航

由韦达定理得 $\tan \alpha +\tan \beta =5$、$\tan \alpha \tan \beta =6$，再求 $\tan \gamma$。

✅【答案】

Success

$45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

由韦达定理，$\tan \alpha +\tan \beta =5$、$\tan \alpha \tan \beta =6$。$\tan \gamma =\tan [180^{\circ }-(\alpha +\beta )]=-\tan (\alpha +\beta )=-\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=-\frac{5}{1-6}=1$，所以 $\gamma =45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：韦达定理与三角

核心方法：韦达定理

避坑指南：$\tan \alpha +\tan \beta =5$、$\tan \alpha \tan \beta =6$，求 $\tan \gamma$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：韦达定理

结论推广：$\gamma =45^{\circ }$

方法推广：正切和角与韦达定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-20 单-正切的和角公式
• 1986-广东文-15 单-两角和的正切