1977-山东B-10 解-正弦定理航海测距

本题导读

本题考查正弦定理在航海测量中的应用。核心在于把方位角转为三角形内角：$\angle A=\alpha$，$\angle S=\beta -\alpha$，一次正弦定理得 $BS$。

📌【题干】

Question

（1977年山东B卷） 一只船以 $v$ 海里/小时的速度向正北航行，在 $A$ 处望见灯塔在船的北 $\alpha$ 度东，继续航行 $t$ 小时后，在 $B$ 处望见 $S$ 在船的北 $\beta$ 度东，求第二次望见灯塔 $S$ 时船和灯塔的距离 $BS$.

🔍【思路分析】

破题导航

$AB=vt$；$S$ 在 $A$ 北偏东 $\alpha$ 得 $\angle A=\alpha$；在 $B$ 北偏东 $\beta$ 得 $\angle ABS=180^{\circ }-\beta$，故 $\angle S=\beta -\alpha$；正弦定理 $\frac{BS}{\sin \alpha }=\frac{vt}{\sin (\beta -\alpha )}$。

✅【答案】

Success

$BS=\frac{vt\sin \alpha }{\sin (\beta -\alpha )}$（海里）

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABS$ 中，$AB=vt$，$\angle A=\alpha$，$\angle S=\beta -\alpha$。由正弦定理得 $\frac{BS}{\sin \alpha }=\frac{vt}{\sin (\beta -\alpha )}$，所以 $BS=\frac{vt\sin \alpha }{\sin (\beta -\alpha )}$（海里）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理航海测距

核心方法：方位角转内角

避坑指南：$\angle A=\alpha$，$\angle S=\beta -\alpha$，正弦定理一次到位

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测距

结论推广：$BS=\frac{vt\sin \alpha }{\sin (\beta -\alpha )}$

方法推广：内角和定 $\angle S$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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