1977-山东B-08 解-判别式与二次方程根

本题导读

本题考查判别式。核心在于 $\Delta =1-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=1-\tan \alpha >0$，结合 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ 解出 $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$，再由求根公式写根（注意常数项为 $\frac{1}{2\cos \alpha }$）。

📌【题干】

Question

（1977年山东B卷） $\frac{\sin \alpha }{2}{x}^2+x+\frac{1}{2\cos \alpha }=0$（$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）为关于 $x$ 的二次方程. (1)当 $\alpha$ 为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)它的根是什么？

🔍【思路分析】

破题导航

$a=\frac{\sin \alpha }{2}$，$b=1$，$c=\frac{1}{2\cos \alpha }$；$\Delta =1-4\cdot \frac{\sin \alpha }{2}\cdot \frac{1}{2\cos \alpha }=1-\tan \alpha >0$ 得 $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$；求根公式 $x=\frac{-1\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1-\tan \alpha }}{\sin \alpha }$。

✅【答案】

Success

(1)$0<\alpha <\frac{\pi }{4}$(2)$x=\frac{-1\pm \sqrt{1-\tan \alpha }}{\sin \alpha }$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以 $b^2-4ac>0$，即 $1-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=1-\tan \alpha >0$，亦即 $\tan \alpha <1$。因此 $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$ 时，方程有两个不相等的实数根。 (2)当 $0<\alpha <\frac{\pi }{4}$ 时，方程的根为 $x=\frac{-1\pm \sqrt{1-\tan \alpha }}{\sin \alpha }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：判别式与二次方程根

核心方法：判别式化 tanα

避坑指南：$\Delta =1-\tan \alpha >0$ 结合 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：讨论

结论推广：$0<\alpha <\frac{\pi }{4}$；$x=\frac{-1\pm \sqrt{1-\tan \alpha }}{\sin \alpha }$

方法推广：常数项是 $\frac{1}{2\cos \alpha }$ 勿抄错

🔗【关联脉络】

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