1977-山东B-02 解-对数与三角综合

本题导读

本题考查对数与三角综合。核心在于 $1-{\cos }^2\frac{\pi }{6}={\sin }^2\frac{\pi }{6}=\frac{1}{4}$、$(\cot \frac{\pi }{4}{)}^{-2}=1$，真数为 $\frac{1}{4}$ 后按底 $\frac{1}{2}$ 算对数。

📌【题干】

Question

（1977年山东B卷） 计算：${\log }_{\frac{1}{2}}\left[\left(1-{\cos }^2\frac{\pi }{6}\right){\left(\cot \frac{\pi }{4}\right)}^{-2}\right]=$？

🔍【思路分析】

破题导航

$1-{\cos }^2\frac{\pi }{6}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；$\cot \frac{\pi }{4}=1$；${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}=2$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $={\log }_{\frac{1}{2}}\left[\left(1-\frac{3}{4}\right)\cdot 1\right]={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数与三角综合

核心方法：逐项化简

避坑指南：$1-{\cos }^2\frac{\pi }{6}=\frac{1}{4}$、$\cot \frac{\pi }{4}=1$、${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}=2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：计算

结论推广：$2$

方法推广：先化真数后算对数

🔗【关联脉络】

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