1977-山东A-07 解-圆周角证直径

本题导读

本题考查圆周角定理。核心在于连接 $FC$，用同弧圆周角把 $\angle ABC$ 转移为 $\angle AFC$，再用三角形内角和把 $\angle ACF$ 归结为 $\angle ADB=90^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（1977年山东A卷） 设 $AD$ 是 $△ABC$ 的高，在线段 $BC$ 上取点 $E$，使 $\angle EAC=\angle BAD$，延长 $AE$ 交 $△ABC$ 外接圆于点 $F$.求证：$AF$ 是外接圆的直径.

🔍【思路分析】

破题导航

连接 $FC$；$A,E,F$ 共线得 $\angle FAC=\angle EAC=\angle BAD$；同弧得 $\angle ABC=\angle AFC$；在 $△ACF$ 中内角和算 $\angle ACF=180^{\circ }-\angle FAC-\angle AFC=\angle ADB=90^{\circ }$，直径可证。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

连接 $FC$。 由于 $A$，$E$，$F$ 三点共线，$\angle FAC=\angle EAC=\angle BAD$。又因为 $\angle ABC=\angle AFC$（同圆中，同弧上圆周角相等），且 $\angle ADB=90^{\circ }$，所以在 $△ABD$ 和 $△ACF$ 中，有 $\angle ACF=180^{\circ }-\angle FAC-\angle AFC=180^{\circ }-\angle BAD-\angle ABC=\angle ADB=90^{\circ }$。 因此 $AF$ 是 $△ABC$ 外接圆的直径。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆周角证直径

核心方法：同弧圆周角+内角和

避坑指南：连接 $FC$，把 $\angle ACF$ 归到 $\angle ADB=90^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$AF$ 是外接圆直径

方法推广：同弧圆周角转移

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明
• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质