1977-新疆理-10 解-圆弧拱桥半径

本题导读

本题考查圆弧拱桥半径。核心在于垂径定理得 AD=8，勾股定理列方程求 R。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 圆弧拱桥的拱跨径 $AB=16$ 米，主拱高为 2.5 米，计算圆弧 $\widehat{AB}$ 的半径是多少米.

🔍【思路分析】

破题导航

$AD=DB=8$，设半径 R、圆心 O，$OD=R-2.5$，$R^2=(R-2.5{)}^2+8^2$。

✅【答案】

Success

$14.05$ 米

✍【详细解析】

Abstract

主拱 $CD\perp AB$ 且延长过圆心，故 $CD$ 平分 $AB$（垂径定理），$AD=DB=\frac{1}{2}AB=8$。设半径 $R$、圆心 $O$，则 $OB=R$、$OD=R-CD=R-2.5$。由勾股定理 $R^2=(R-2.5{)}^2+8^2$，即 $R^2=R^2-5R+6.25+64$，$5R=70.25$，$R=14.05$（米）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆弧拱桥半径

核心方法：垂径定理 + 勾股定理

避坑指南：AD=8，OD=R-2.5，R²=(R-2.5)²+8²，R=14.05 米。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆弧拱桥，考查垂径定理与勾股。

结论推广：垂直于弦的直径平分弦，用勾股定理求半径。

方法推广：设 R、OD=R-CD 列勾股方程。

🔗【关联脉络】

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