1977-宁夏-11 解-正弦定理与面积

本题导读

本题考查正弦定理与三角形面积。核心在于求角 C，正弦定理求 b、c，面积公式。

📌【题干】

Question

（1977年宁夏卷） 在 $△ABC$ 中，已知 $a=\sqrt{2}$，$A=45^{\circ }$，$B=60^{\circ }$，求 $C$，$b$，$c$ 及面积 $△ABC$.

🔍【思路分析】

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$C=75^{\circ }$；$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\sqrt{3}$，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})/2$；$S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

✅【答案】

Success

$C=75^{\circ }$，$b=\sqrt{3}$，$c=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，$S=\frac{\sqrt{3}+3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$C=180^{\circ }-(A+B)=75^{\circ }$。由正弦定理 $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{\sqrt{2}\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\sqrt{3}$，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{2}\sin 75^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=2\sin 75^{\circ }=2\sin (30^{\circ }+45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{3}+3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与面积

核心方法：正弦定理求 b、c，面积公式

避坑指南：C=75°，b=√3、c=(√6+√2)/2，S=(√3+3)/4。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正弦定理与三角形面积。

结论推广：正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC 与 S=1/2·ab·sinC。

方法推广：sin75° 用和角公式展开。

🔗【关联脉络】

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