1977-吉林-14 解-微分方程

本题导读

本题考查微分方程的通解（参考题，超出现行高中范围）。核心在于(1)分离变量两边积分，(2)二阶常系数齐次方程用特征根。

📌【题干】

Question

（1977年吉林卷） 求微分方程的通解： (1)$y^{\prime }=\frac{2+y}{3-x}$；

(2)$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }-3y=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)化为 $\frac{dy}{2+y}=\frac{dx}{3-x}$ 两边积分；(2)特征方程 ${\lambda }^2-2\lambda -3=0$ 的根为 $3$，$-1$。

✅【答案】

Success

(1)$y=\frac{C}{3-x}-2$(2)$y=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^{-x}$（$C$，$C_1$，$C_2$ 为任意常数）

✍【详细解析】

Abstract

(1)原方程可写成 $\frac{dy}{2+y}=\frac{dx}{3-x}$，两边积分得 $\ln |2+y|=-\ln |3-x|+C_1$（$C_1$ 为任意常数）。于是 $2+y=\frac{C}{3-x}$，因此通解为 $y=\frac{C}{3-x}-2$（其中 $C=e^{C_1}$，是任意常数）。 (2)这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程 ${\lambda }^2-2\lambda -3=0$ 的根是 $3$，$-1$，因此原方程的通解为 $y=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^{-x}$，其中 $C_1$，$C_2$ 是任意常数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：微分方程

核心方法：分离变量与特征方程

避坑指南：(1) 分离变量积分；(2) 特征根 $\lambda =3,-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：通解

结论推广：$y=\frac{C}{3-x}-2$；$y=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^{-x}$

方法推广：分离变量与特征方程

🔗【关联脉络】

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