1977-吉林-11 解-圆的切线

本题导读

本题考查直线与圆相切。核心在于圆心到切线的距离等于半径，切点由联立方程组求得。

📌【题干】

Question

（1977年吉林卷） 已知直线 $4x+3y-12=0$ 和圆心在 $(4,7)$ 点的一个圆相切，求这圆的半径及过圆心和切点的直线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

圆心到直线距离即半径 $R=\frac{|16+21-12|}{5}=5$；联立圆与直线得切点 $(0,4)$，再求过两点的直线。

✅【答案】

Success

半径 $R=5$，过圆心和切点的直线方程为 $3x-4y+16=0$

✍【详细解析】

Abstract

圆的方程可写为 $(x-4{)}^2+(y-7{)}^2=R^2$。因为它与直线 $4x+3y-12=0$ 相切，圆心 $(4,7)$ 到直线的距离等于半径 $R$，即 $R=\frac{|4\times 4+3\times 7-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{5}=5$。联立 $(x-4{)}^2+(y-7{)}^2=25$ 与 $4x+3y-12=0$，解得两组相同解 $x=0$，$y=4$，即切点为 $(0,4)$。过圆心 $(4,7)$ 和切点 $(0,4)$ 的直线方程为 $\frac{y-4}{x-0}=\frac{7-4}{4-0}$，即 $3x-4y+16=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线

核心方法：圆心距判切线

避坑指南：圆心到直线距离 $=$ 半径定相切，切点联立可求

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线

结论推广：$R=5$，$3x-4y+16=0$

方法推广：圆心距等于半径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-28 填-圆的切线方程
• 2006-江苏卷-02 单-圆的切线方程