1977-北京文-03 解-分式方程

本题导读

本题考查分式方程的求解。核心在于去分母后必须检验增根。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(文)） 解方程：$\frac{1}{x-1}+1=\frac{4x-2}{x^2-1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

同乘 $x^2-1$ 化为整式方程，解出后舍去使分母为零的根。

✅【答案】

Success

$x=2$

✍【详细解析】

Abstract

由分式有意义知 $x\ne 1$ 且 $x\ne -1$。同乘 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，得 $x+1+x^2-1=4x-2$，即 $x^2-3x+2=0$，$(x-1)(x-2)=0$，故 $x=1$ 或 $x=2$。因 $x=1$ 使分母为零，舍去，所以原方程的解为 $x=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式方程

核心方法：去分母验增根

避坑指南：同乘 $x^2-1$ 后必须验根，$x=1$ 是增根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式方程

结论推广：解 $x=2$，$x=1$ 为增根

方法推广：分式方程必须验根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-安徽文-01 单-集合交集解方程