1977-新疆文-01 解-分式方程求解

本题导读

本题考查分式方程的求解。核心在于去分母化为整式方程，并检验增根。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(文)） 解方程：$\frac{x-1}{x+1}-\frac{5}{1-x}=\frac{4}{x^2-1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

两边同乘 $(x+1)(x-1)$ 去分母，得整式方程 $x^2+3x+2=0$，再验根。

✅【答案】

Success

$x=-2$（$x=-1$ 为增根，舍去）

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{x-1}{x+1}-\frac{5}{1-x}=\frac{4}{x^2-1}$，即 $\frac{x-1}{x+1}+\frac{5}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}$。两边同乘 $(x+1)(x-1)$ 去分母：$(x-1{)}^2+5(x+1)=4$，得 $x^2-2x+1+5x+5=4$，即 $x^2+3x+2=0$，解得 $x=-2$ 或 $x=-1$。经检验，$x=-1$ 使分母 $x^2-1=0$，是增根舍去；$x=-2$ 是原方程的根。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式方程求解

核心方法：去分母化整式方程，验根舍增根

避坑指南：两边同乘 (x+1)(x-1)，得 x²+3x+2=0，x=-2 或 -1；经检验 x=-1 是增根，故 x=-2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于分式方程求解，考查去分母与增根检验。

结论推广：分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程。

方法推广：分母含 x 时必须验根，x=-1 使分母为 0 是增根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03_几何与代数主题

类题演练 (Links)

• 1977-北京文-03 解-分式方程
• 1977-西藏-02 解-分式方程求根