1977-西藏-02 解-分式方程求根

本题导读

本题考查分式方程求根。核心在于去分母化二次方程，求根后在 0 到 1 区间取根。

📌【题干】

Question

（1977年西藏卷） 求分式方程 $\frac{1-x}{x}=x$ 在 0 到 1 范围内精确到小数三位的根.

🔍【思路分析】

破题导航

去分母得 $x^2+x-1=0$，两根 $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$，取 $0<x<1$ 的正根。

✅【答案】

Success

$x\approx 0.618$

✍【详细解析】

Abstract

去分母、移项得 $x^2+x-1=0$，所以 $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$。经检验两根都是原方程的根，其中 $0<x<1$ 的是 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx \frac{-1+2.236}{2}=0.618$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式方程求根

核心方法：去分母化整式方程，求根后在定义域内取 0 到 1 的根

避坑指南：两根都要检验；0 到 1 范围内只取 x=(-1+√5)/2≈0.618。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于分式方程，考查去分母与根的检验。

结论推广：分式方程求根后必须验根，再按题目区间筛选。

方法推广：去分母后二次方程两根用求根公式，再判断哪根落在给定区间。

🔗【关联脉络】

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