1977-内蒙古理-07 解-三角恒等式证明

本题导读

本题考查三角恒等式的证明。核心在于 ${\cos }^2(A+B)$ 的展开与合并。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(理)） 在 $△ABC$ 中，求证 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\sin A\sin B\cos (A+B)=1$.

🔍【思路分析】

破题导航

利用 $C=180^{\circ }-(A+B)$，${\cos }^{2}C={\cos }^2(A+B)$ 展开合并。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

因 $A+B+C=180^{\circ }$，$\cos C=-\cos (A+B)$，故 ${\cos }^{2}C={\cos }^2(A+B)$。左式 $={\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\cos }^2(A+B)+2\sin A\sin B\cos (A+B)={\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+(\cos A\cos B-\sin A\sin B{)}^2+2\sin A\sin B\cos A\cos B-2{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B={\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\cos }^{2}A{\cos }^{2}B-{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B={\cos }^{2}B({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)+{\sin }^{2}B={\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式证明

核心方法：三角恒等变形

避坑指南：${\cos }^2(A+B)$ 展开合并

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒等式

结论推广：左式 $=1$

方法推广：三角恒等变形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-12 解-三角恒等式的证明
• 1989-广东文-26 填-诱导公式与特殊角