2006-陕西文-22 解-导数单调性与极值

本题导读

本题考查导数的单调区间与极值。核心在于导数求单调区间与极值。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=k{x}^3-3x^2+1$（$k⩾0$）．

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 若函数 $f(x)$ 的极小值大于 $0$，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3k{x}^2-6x=3x(kx-2)$。
2. $k=0$ 时 $f^{\prime }(x)=-6x$，在 $(-\infty ,0)$ 增、$(0,+\infty )$ 减。
3. $k>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$ 区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $(\frac{2}{k},+\infty )$，$f^{\prime }(x)<0$ 区间为 $(0,\frac{2}{k})$。
4. (2) $k=0$ 时无极小值；$k>0$ 时极小值点 $x=\frac{2}{k}$，极小值 $f(\frac{2}{k})=1-\frac{4}{k^2}$。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $k>2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=3k{x}^2-6x=3x(kx-2)$． 当 $k=0$ 时，$f^{\prime }(x)=-6x$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，在 $(0,+\infty )$ 上单调递减． 当 $k>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$ 的区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $\left(\frac{2}{k},+\infty \right)$，$f^{\prime }(x)<0$ 的区间为 $\left(0,\frac{2}{k}\right)$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $\left(\frac{2}{k},+\infty \right)$ 上单调递增，在 $\left(0,\frac{2}{k}\right)$ 上单调递减．

（2）当 $k=0$ 时，$f(x)=-3x^2+1$ 只有极大值而无极小值，不满足条件． 当 $k>0$ 时，$x=\frac{2}{k}$ 是极小值点，极小值为 $f\left(\frac{2}{k}\right)=k{\left(\frac{2}{k}\right)}^3-3{\left(\frac{2}{k}\right)}^2+1=1-\frac{4}{k^2}.$ 要求极小值大于 $0$，得 $1-\frac{4}{k^2}>0$，结合 $k>0$，可得 $k>2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数单调性与极值

核心方法：(1) $f^{\prime }(x)=3x(kx-2)$，$k=0$ 时在 $(-\infty ,0)$ 增、$(0,+\infty )$ 减；$k>0$ 时在 $(-\infty ,0)$、$(\frac{2}{k},+\infty )$ 增、$(0,\frac{2}{k})$ 减；(2) 极小值 $f(\frac{2}{k})=1-\frac{4}{k^2}>0$ 得 $k>2$

避坑指南：$k=0$ 时只有极大值无极小值，舍；极小值点在 $x=\frac{2}{k}$，须 $k>2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 导数研究单调性与极值

结论推广: $f^{\prime }(x)$ 符号定单调，极值点导数为 $0$

方法推广: 分类讨论 $k$，由极小值大于 $0$ 解范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-20 解-五次函数极值定参
• 2008-山东文-21 解-三次型函数极值与大小比较
• 2008-江西文-21 解-导数单调性与交点个数
• 2008-福建文-21 解-三次函数极值