2004-湖北理-09 单-利用导数研究函数的极值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值，以及导数符号与极值点的关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 函数 $f(x)=a{x}^3+x+1$ 有极值的充要条件是 ()

A. $a>0$　　　　　B. $a\ge 0$　　　　　C. $a<0$　　　　　D. $a\le 0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求导）：首先对三次函数 $f(x)=a{x}^3+x+1$ 进行求导，得到导函数 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+1$。
2. 第二步逻辑（极值充要条件转化）：可导函数 $f(x)$ 存在极值，意味着导函数 $f^{\prime }(x)=0$ 存在实数根，并且导函数图象必须穿过 $x$ 轴（即导数符号在根的左右两侧发生异号转变）。
   • 若 $a=0$， $f^{\prime }(x)=1>0$ 恒成立，函数单调递增，无极值。
   • 若 $a>0$， $3a>0$，一元二次方程 $3a{x}^2+1=0$ 无实数根（$x^2=-\frac{1}{3a}<0$）。此时 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，函数无极值。
   • 若 $a<0$， $3a<0$，一元二次方程 $3a{x}^2+1=0$ 有两个相异的实数根 $x=\pm \sqrt{-\frac{1}{3a}}$。由于导函数为开口向下的抛物线，其图象必然穿过 $x$ 轴，导数符号发生“负 $\to$ 正 $\to$ 负”的变化，因此函数必定存在一个极大值点和一个极小值点。
3. 第三步逻辑（总结充要条件）：综上所述，函数有极值的充要条件是 $a<0$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 对原函数求导数： 已知函数为 $f(x)=a{x}^3+x+1$。 对 $f(x)$ 实施求导运算法则： $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+1\text{（式1）}$

• 分类讨论参数 $a$ 对导数符号的控制：

  1. 当 $a=0$ 时： 代入（式1）得 $f^{\prime }(x)=1>0$ 恒成立。 根据导数单调性定理，此时函数 $f(x)=x+1$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格单调递增的，没有极值点。
  2. 当 $a>0$ 时： 对于任意实数 $x$，恒有 $x^2\ge 0$，由于 $3a>0$，所以 $3a{x}^2\ge 0$。 则导函数满足： $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+1\ge 1>0$。 此时函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上依然是严格单调递增的，同样没有极值点。
  3. 当 $a<0$ 时： 令导函数等于 0 建立方程： $3a{x}^2+1=0⟹x^2=-\frac{1}{3a}$ 因为 $a<0⟹-\frac{1}{3a}>0$，所以该一元二次方程在实数集内存在两个相异的实数根： $x_1=-\sqrt{-\frac{1}{3a}},x_2=\sqrt{-\frac{1}{3a}}$ 由于导函数 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+1$ 的图象是一条开口向下的抛物线，其与 $x$ 轴有两个异样交点。 在 $x_1$ 和 $x_2$ 的邻域内，导函数的取值符号严格发生穿透（即在根的左右两侧分别由负变正、由正变负）。 根据极值第一充分条件，此时函数 $f(x)$ 必然在 $x_1$ 处取得极小值，在 $x_2$ 处取得极大值。

综上所述，函数 $f(x)$ 存在极值的充要条件为 $a<0$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数极值点与导数零点、变号零点之间的等价关系；一元二次方程根的分布及正负控制。
2. 核心方法：导数分类讨论法、判别式分析法。
3. 避坑指南：
   • 混淆“导数为 0”与“存在极值”的因果关系：很多学生单纯记忆 $f^{\prime }(x)=0$，利用判别式误以为一元二次方程有根即可，从而错选 D。请记住极值核心铁律：导数等于 0 只是可能存在极值的必要条件，而不是充分条件！ 例如 $f(x)=x^3$，求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2$，令其为 0 解得 $x=0$，但因为 $3x^2\ge 0$ 在 0 的两侧不改变符号，所以 $x=0$ 只是一个驻点（拐点），而不是极值点。本题由于常数项为 $+1$，只有当 $a<0$ 时抛物线才会跨越 $x$ 轴产生变号零点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材中“导数在研究函数极值中的应用”章节的易错概念辨析选择题，是微积分导数性质考查的经典母题。
2. 结论推广: 一般地，设三次多项式函数图形为 $f(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$ ($\alpha \ne 0$)。对其求导得到二阶切空间的一元二次方程 $f^{\prime }(x)=3\alpha x^2+2\beta x+\gamma =0$。根据一维微分图形的性质，三次曲线存在且仅存在一个极大值点与一个极小值点的完整充要条件，被其导函数的判别式严格确定为： $\Delta =(2\beta {)}^2-4(3\alpha )\gamma =4{\beta }^2-12\alpha \gamma >0$。本题中 $\beta =0,\gamma =1$，代入推广通式得 $-12a>0⟹a<0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-19 解-三次函数极值与单调
• 2006-陕西文-22 解-导数单调性与极值
• 1985-广东理-35 解-五次多项式的极值与实根个数