2006-陕西文-19 解-线面角与二面角

本题导读

本题考查线面角。核心在于面面垂直转线面角、建系求二面角。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 如图，$\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta =l$，$A\in \alpha$，$B\in \beta$，点 $A$ 在直线 $l$ 上的射影为 $A_1$，点 $B$ 在 $l$ 上的射影为 $B_1$．已知 $AB=2$，$A{A}_1=1$，$B{B}_1=\sqrt{2}$．求：

(1) 直线 $AB$ 分别与平面 $\alpha ,\beta$ 所成角的大小；

(2) 二面角 $A_1-AB-B_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $\alpha \perp \beta$，$B{B}_1\perp l$，故 $B{B}_1\perp \alpha$；同理 $A{A}_1\perp \beta$。
2. $AB$ 与 $\alpha$ 所成角：$\mathrm{Rt}△AB{B}_1$ 中 $A{B}_1=\sqrt{A{B}^2-B{B}_1^2}=\sqrt{2}$，角为 $\arcsin \frac{B{B}_1}{AB}=\frac{\pi }{4}$。
3. $AB$ 与 $\beta$ 所成角：$\mathrm{Rt}△A{A}_{1}B$ 中 $A_{1}B=\sqrt{A{B}^2-A{A}_1^2}=\sqrt{3}$，角为 $\arcsin \frac{A{A}_1}{AB}=\frac{\pi }{6}$。
4. (2) $A_1{B}_1=\sqrt{A{B}^2-A{A}_1^2-B{B}_1^2}=1$，建系求法向量。

✅【答案】

Success

(1) 与 $\alpha$ 成 $\frac{\pi }{4}$，与 $\beta$ 成 $\frac{\pi }{6}$

(2) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $\alpha \perp \beta$，所以 $B{B}_1\perp \alpha$，$A{A}_1\perp \beta$． 在直角三角形 $AB{B}_1$ 中，$A{B}_1=\sqrt{A{B}^2-B{B}_1^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，故直线 $AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\arcsin \frac{B{B}_1}{AB}=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}.$ 在直角三角形 $A{A}_{1}B$ 中，$A_{1}B=\sqrt{A{B}^2-A{A}_1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，故直线 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角为 $\arcsin \frac{A{A}_1}{AB}=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}.$

（2）由三条互相垂直的分量可得 $A_1{B}_1=\sqrt{A{B}^2-A{A}_1^2-B{B}_1^2}=1$． 建立直角坐标系，使 $l$ 为 $x$ 轴，$\alpha$ 为 $xy$ 平面，$\beta$ 为 $xz$ 平面，并取 $A_1=(0,0,0),B_1=(1,0,0),A=(0,1,0),B=(1,0,\sqrt{2}).$ 则平面 $A_{1}AB$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(\sqrt{2},0,-1)$，平面 $B_{1}AB$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$． 设所求二面角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{2}{\sqrt{3}\times 2}=\frac{\sqrt{3}}{3},$ 所以 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角与二面角

核心方法：(1) $\alpha \perp \beta$ 得 $B{B}_1\perp \alpha$、$A{A}_1\perp \beta$，线面角 $\arcsin \frac{B{B}_1}{AB}=\frac{\pi }{4}$、$\arcsin \frac{A{A}_1}{AB}=\frac{\pi }{6}$；(2) 建系求法向量得二面角 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：线面角是斜线与它在平面内射影的夹角，用 $\arcsin \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$；二面角用两平面法向量夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线面角与二面角

结论推广: 线面角用 $\arcsin$，二面角用法向量夹角

方法推广: 建系求法向量，二面角取法向量夹角的补角或本身

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-19 解-线面角与二面角
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角
• 2008-湖北文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2012-大纲卷文-19 解-线面垂直与线面角