2004-全国卷III理-20 解-面面垂直的性质定理

本题导读

本题考查面面垂直的性质定理。核心在于几何法、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 三棱锥 $P-ABC$ 中，侧面 $PAC$ 与底面 $ABC$ 垂直， $PA=PB=PC=3$.

(1) 求证： $AB\perp BC$；

(2) 设 $AB=BC=2\sqrt{3}$，求 $AC$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问突破口：已知 $PA=PC$，作 $PO\perp AC$ 于 $O$，则 $O$ 为 $AC$ 的中点。利用面面垂直的性质定理可证 $PO\perp \text{平面 }ABC$。从而 $O$ 是 $P$ 在底面 $ABC$ 上的射影。连接 $OB$，由 $PA=PB=PC$ 可推出 $OA=OB=OC$，根据圆的性质或勾股定理逆定理可证 $△ABC$ 为直角三角形，即 $AB\perp BC$。
2. 第(2)问突破口（向量法）：在第(1)问的基础上，因为 $AB\perp BC$ 且 $AB=BC=2\sqrt{3}$，可求出 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=2\sqrt{6}$，从而 $OA=OB=OC=\sqrt{6}$。在 $\text{Rt}△POA$ 中由勾股定理算出 $PO=\sqrt{P{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{3}$。以 $O$ 为原点， $OB$ 为 $y$ 轴， $OC$ 为 $x$ 轴， $OP$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面 $PBC$ 的法向量 $\vec{n}$，利用 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\vec{n}|}$ 求解线面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在侧面 $△PAC$ 中，作 $PO\perp AC$，垂足为 $O$。 因为 $PA=PC=3$，所以 $O$ 为 $AC$ 的中点。 又因为平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，平面 $PAC\cap$ 平面 $ABC=AC$，且 $PO\subset$ 平面 $PAC$， 根据面面垂直的性质定理，可得： $PO\perp \text{平面 }ABC$ 因此， $PO\perp OA$， $PO\perp OB$。

在 $\text{Rt}△POA$ 和 $\text{Rt}△POB$ 中，由勾股定理得： $OA=\sqrt{P{A}^2-P{O}^2}$ $OB=\sqrt{P{B}^2-P{O}^2}$ 因为 $PA=PB=3$，所以 $OA=OB$。 又因为 $O$ 为 $AC$ 的中点，所以 $OA=OC$。 由此可得： $OA=OB=OC=\frac{1}{2}AC$ 在 $△ABC$ 中，中线 $BO$ 等于底边 $AC$ 的一半， 根据三角形几何性质， $△ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的直角三角形， 所以 $AB\perp BC$。

(2) 解： 因为 $AB=BC=2\sqrt{3}$，且 $AB\perp BC$， 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，由勾股定理得： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ 则 $OA=OB=OC=\sqrt{6}$。

在 $\text{Rt}△POA$ 中，由勾股定理得： $PO=\sqrt{P{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{6}{)}^2}=\sqrt{3}$

以 $O$ 为原点，射线 $OC,OB,OP$ 分别为 $x,y,z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

根据各线段长度，可得各顶点坐标为： $O(0,0,0),A(-\sqrt{6},0,0),C(\sqrt{6},0,0),B(0,\sqrt{6},0),P(0,0,\sqrt{3})$ 则： $\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{6},0,0)$ $\overrightarrow{CB}=(-\sqrt{6},\sqrt{6},0),\overrightarrow{CP}=(-\sqrt{6},0,\sqrt{3})$

设平面 $PBC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则满足： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CB}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{6}x+\sqrt{6}y=0\\ -\sqrt{6}x+\sqrt{3}z=0\end{array}$ 由第一式得 $y=x$，由第二式得 $z=\sqrt{2}x$。 令 $x=1$，得平面 $PBC$ 的一个法向量为： $\vec{n}=(1,1,\sqrt{2})$

设 $AC$ 与平面 $PBC$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{AC},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\vec{n}|}$ 计算各项物理量： $\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}=2\sqrt{6}\times 1+0\times 1+0\times \sqrt{2}=2\sqrt{6}$ $|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{6}$ $|\vec{n}|=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4}=2$ 代入正弦值公式： $\sin \theta =\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times 2}=\frac{1}{2}$

因为 $\theta$ 是线面角，其取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $\theta =\frac{\pi }{6}$（即 $30^{\circ }$）。

答： $AC$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小为 $\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的几何性质转化、空间两点距离与高线求法、建系法求线面角。
2. 核心方法：空间向量法（建系法）、等体积代换几何法。
3. 避坑指南：
   • 在第(1)问中，由 $OA=OB=OC$ 推出直角时，必须交代 $O$ 是 $AC$ 的中点，这是判定外接圆圆心和直角三角形的充要前提。
   • 采用向量法建系时，必须明确证明或交代 $OA,OB,OP$ 三条轴两两垂直（由 $PO\perp$ 底面得到 $PO\perp OA,PO\perp OB$，再由直角等腰三角形得到 $OB\perp AC$即 $OB\perp OA$），满足基底垂直才可建系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典立体几何线面垂直与角的高考解答常规题。

2. 结论推广: 任何一侧面与底面垂直的三棱锥，其侧棱长相等时，顶点在底面的投影均落在该侧面底边（相交线）的中点上，且该点到另两底面顶点的距离必定相等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-08 解-正四棱柱截面与对角面的垂直
• 2006-陕西文-19 解-线面角与二面角
• 2007-浙江文-20 解-线面垂直与线面角