2006-陕西文-02 单-分式函数值域

本题导读

本题考查函数值域，以及分式函数。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$（$x\in \mathbb{R}$）的值域是()

A. $(0,1)$　　　　　B. $(0,1]$　　　　　C. $[0,1)$　　　　　D. $[0,1]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x\in \mathbb{R}$ 时 $x^2⩾0$，$1+x^2⩾1$。
2. 故 $0<\frac{1}{1+x^2}⩽1$。
3. $x=0$ 时取到 $1$，$f(x)$ 恒不为 $0$（$|x|$ 无限增大时无限接近 $0$）。
4. 值域 $(0,1]$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $x^2⩾0$，从而 $1+x^2⩾1$，于是 $0<f(x)⩽1$． 当 $x=0$ 时 $f(x)=1$；而 $f(x)$ 不可能等于 $0$，但当 $|x|$ 无限增大时 $f(x)$ 无限接近 $0$． 所以函数的值域为 $(0,1]$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数值域

核心方法：$1+x^2⩾1$，故 $0<f(x)⩽1$，值域 $(0,1]$

避坑指南：$x=0$ 时取到 $1$，但 $f(x)$ 恒不为 $0$，左端取开括号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 函数值域的求法

结论推广: $y=\frac{1}{1+x^2}$ 值域 $(0,1]$

方法推广: 用 $x^2⩾0$ 反推 $1+x^2$ 的范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-09 填-偶函数定值域
• 2008-北京文-15 解-三角降幂与值域
• 2008-安徽文-17 解-三角化简值域
• 2008-山东文-03 单-对数型函数图象判断