2006-重庆文-22 解-抛物线焦点弦与切线

本题导读

本题考查抛物线。核心在于焦点弦性质与切线方程。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 如图，对每个正整数 $n$，$A_n(x_n,y_n)$ 是抛物线 $x^2=4y$ 上的点，过焦点 $F$ 的直线 $F{A}_n$ 交抛物线于另一点 $B_n(s_n,t_n)$。

(1) 试证：$x_n{s}_n=-4$（$n⩾1$）；

(2) 取 $x_n=2^n$，并记 $C_n$ 为抛物线上分别以 $A_n$ 与 $B_n$ 为切点的两条切线的交点。试证：$|F{C}_1|+|F{C}_2|+\cdots +|F{C}_n|=2^n-2^{-n+1}+1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线 $x^2=4y$ 焦点 $F(0,1)$。
2. (1) 直线 $F{A}_n$ 与抛物线有两个交点，不竖直，设为 $y-1=mx$；代入 $x^2=4(mx+1)$ 得 $x^2-4mx-4=0$，两根为 $x_n,s_n$，韦达 $x_n{s}_n=-4$。
3. (2) 抛物线在 $(r,\frac{r^2}{4})$ 处切线 $y-\frac{r^2}{4}=\frac{r}{2}(x-r)$，即 $y=\frac{r}{2}x-\frac{r^2}{4}$。
4. 联立 $u=x_n$、$v=s_n$ 的两条切线：$$\begin{gathered} dfracu2x- \\ dfrac{u}^{2}4= \\ dfracv2x- \\ dfrac{v}^{2}4 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} x= \\ dfracu+v2 \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} y= \\ dfracuv4 \end{gathered}$$；由 $uv=-4$ 得 $y=-1$，$$\begin{gathered} C_n \\ left( \\ tfracu+v2,-1 \\ right) \end{gathered}$$。
5. $$\begin{gathered} |F{C}_n{|}^2= \\ left( \\ tfracu+v2 \\ right{)}^2+(-2{)}^2= \\ tfrac(u+v{)}^2+164= \\ tfrac(u-v{)}^{2}4 \end{gathered}$$（因 $(u+v{)}^2+16=u^2+2uv+v^2+16=u^2-2uv+v^2=(u-v{)}^2$，用 $uv=-4$），$$\begin{gathered} |F{C}_n|= \\ tfrac|u-v|2 \end{gathered}$$。
6. $x_n=2^n$ 时 $$\begin{gathered} s_n=- \\ dfrac42^n=-2^{2-n} \end{gathered}$$，$u>0>v$，$$\begin{gathered} |F{C}_n|= \\ tfrac{2}^n+2^{2-n}2=2^{n-1}+2^{1-n} \end{gathered}$$。
7. $$\begin{gathered} sum|F{C}_n|= \\ sum{2}^{n-1}+ \\ sum{2}^{1-n}=(2^n-1)+(2-2^{1-n})=2^n-2^{-n+1}+1 \end{gathered}$$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $x^2=4y$ 的焦点为 $F(0,1)$．

（1）由于直线 $F{A}_n$ 与抛物线有两个不同交点，它不可能是竖直直线，故可设为 $y-1=mx$．代入 $x^2=4y$ 得 $x^2=4(mx+1)$，即 $x^2-4mx-4=0$．该方程的两个根正是 $x_n$ 和 $s_n$，由韦达定理得 $x_n{s}_n=-4$．

（2）记 $u=x_n$、$v=s_n$．抛物线在横坐标为 $r$ 的点 $\left(r,\frac{r^2}{4}\right)$ 处的切线方程为 $y-\frac{r^2}{4}=\frac{r}{2}(x-r)$，即 $y=\frac{r}{2}x-\frac{r^2}{4}$． 联立横坐标分别为 $u$、$v$ 的两条切线，得交点 $C_n\left(\frac{u+v}{2},\frac{uv}{4}\right)=\left(\frac{u+v}{2},-1\right),$ 其中用到了 $uv=-4$． 又 $(u+v{)}^2+16=u^2+2uv+v^2+16=u^2-2uv+v^2=(u-v{)}^2$，故 $|F{C}_n|=\sqrt{{\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2+(-2{)}^2}=\frac{|u-v|}{2}.$ 当 $x_n=2^n$ 时，由（1）得 $s_n=-\frac{4}{2^n}=-2^{2-n}$，所以 $u>0>v$，从而 $|F{C}_n|=\frac{1}{2}(2^n+2^{2-n})=2^{n-1}+2^{1-n}.$ 于是 ${\sum }_{j=1}^n|F{C}_j|={\sum }_{j=1}^n{2}^{j-1}+{\sum }_{j=1}^n{2}^{1-j}=(2^n-1)+(2-2^{1-n})=2^n-2^{-n+1}+1.$ 证毕．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦与切线

核心方法：焦点 $F(0,1)$，设 $F{A}_n:y-1=mx$ 代入 $x^2=4y$ 得 $x^2-4mx-4=0$，韦达 $x_n{s}_n=-4$；(2) 切线交点 $C_n\left(\frac{u+v}{2},\frac{uv}{4}\right)=\left(\frac{u+v}{2},-1\right)$，$|F{C}_n|=\frac{|u-v|}{2}$；$x_n=2^n$ 时 $s_n=-2^{2-n}$，$|F{C}_n|=2^{n-1}+2^{1-n}$，求和 $=2^n-2^{-n+1}+1$

避坑指南：过焦点弦设 $y-1=mx$ 联立；抛物线 $x^2=4y$ 在 $(r,\frac{r^2}{4})$ 切线 $y=\frac{r}{2}x-\frac{r^2}{4}$；$(u+v{)}^2+16=(u-v{)}^2$ 因 $uv=-4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 抛物线焦点弦与切线交点

结论推广: 焦点弦韦达 $x_n{s}_n=-4$；切线交点 $C_n$ 的 $y$ 恒为 $-1$

方法推广: 过焦点弦设 $y-1=mx$；抛物线切线公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2008-陕西文-21 解-抛物线切线与向量垂直
• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2012-大纲卷文-22 解-抛物线与圆公切线