2004-福建理-22 解-抛物线的几何性质与切线方程

本题导读

本题考查直线与圆锥曲线相交。核心在于设而不求点差法与韦达定理法、几何结构仿射射影转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 如图， $P$ 是抛物线 $C:y=\frac{1}{2}{x}^2$ 上一点，直线 $l$ 过点 $P$ 且与抛物线 $C$ 交于另一个点 $Q$.

(1)若直线 $l$ 与过点 $P$ 的切线垂直，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹方程；

(2)若直线 $l$ 不过原点且与 $x$ 轴交于点 $S$，与 $y$ 轴交于点 $T$，试求 $\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|}$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：建立切线与割线的垂直纽带：
   • 设切点为 $P(x_1,y_1)=\left(x_1,\frac{1}{2}{x}_1^2\right)$。对抛物线求导得 $y^{\prime }=x$，故过点 $P$ 的切线斜率为 $k_{\text{切}}=x_1$．
   • 直线 $l$ 与该切线垂直，说明直线 $l$ 是抛物线的法线，其斜率为 $k=-\frac{1}{k_{\text{切}}}=-\frac{1}{x_1}$ （其中 $x_1\ne 0$）。
   • 从而可写出直线 $l$ 的点斜式方程，并与抛物线方程联立。利用韦达定理表达出 $x_1+x_2$。
   • 动点 $M(x,y)$ 是 $PQ$ 的中点，满足 $x=\frac{x_1+x_2}{2}$， $y=k(x-x_1)+y_1$。通过消去参数 $x_1$ 即可得到 $x$ 与 $y$ 的核心轨迹方程。
2. 第二问：利用平行投影化简几何比例（破局点）：
   • 几何式 $\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|}$ 带有大量的绝对值和两点间距离根号，若直接用距离公式代入会陷入死局。
   • 观察空间位置：直线 $l$ 依次与 $y$ 轴交于 $T$、与 $x$ 轴交于 $S$、与抛物线交于 $P,Q$。
   • 根据平行线截线段成比例定理（或相似三角形射影性质），直线 $l$ 上的线段长度之比，完全等价于它们在 $x$ 轴上的投影线段长度之比。
   • 设 $P,Q$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$，点 $S$ 的横坐标为 $x_S$，点 $T$ 的横坐标为 $0$。则比例式无条件化简为： $\frac{|ST|}{|SP|}=\frac{|0-x_S|}{|x_1-x_S|},\frac{|ST|}{|SQ|}=\frac{|0-x_S|}{|x_2-x_S|}$
   • 将直线 $l$ 的标准截距式方程与抛物线联立，利用韦达定理将 $x_1,x_2,x_S$ 的关系完全代数化，结合基本不等式即可求出范围。

✅【答案】

Success

(1) $y=x^2+1+\frac{1}{2x^2}(x\ne 0)$

(2) $\left(2,+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）若直线 $l$ 与过点 $P$ 的切线垂直，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹方程 对抛物线方程 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 进行关于自变量 $x$ 的求导： $y^{\prime }=x$ 设抛物线上的动点 $P$ 的坐标为 $\left(x_1,\frac{1}{2}{x}_1^2\right)$，根据导数的几何意义，过点 $P$ 的抛物线切线的斜率为： $k_{\text{切}}=x_1$ 由于直线 $l$ 与该切线严格垂直，说明直线 $l$ 构成了抛物线的法线，其斜率 $k$ 满足内积为 $-1$ 的约束： $k\cdot k_{\text{切}}=-1⟹k=-\frac{1}{x_1}\text{（其中 }{x}_1\ne 0\text{）}$

利用点斜式写出直线 $l$ 的通用解析方程： $y-\frac{1}{2}{x}_1^2=-\frac{1}{x_1}(x-x_1)⟹y=-\frac{1}{x_1}x+1+\frac{1}{2}{x}_1^2\text{（式1）}$

将直线（式1）与抛物线方程 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 进行联立消去 $y$： $\frac{1}{2}{x}^2=-\frac{1}{x_1}x+1+\frac{1}{2}{x}_1^2$ 两边同时乘以 2 并在左侧合并同类项，化为一元二次标准型方程： $x^2+\frac{2}{x_1}x-\left(x_1^2+2\right)=0$ 设直线 $l$ 与抛物线的另一个交点 $Q$ 的横坐标为 $x_2$。根据一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系）： $x_1+x_2=-\frac{2}{x_1}\text{（式2）}$

设线段 $PQ$ 的动中点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$。根据平面几何中点坐标公式： $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ 将（式2）代入其中，可得中点横坐标 $x$ 与参数 $x_1$ 的显式函数关系： $x=\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{x_1}\right)=-\frac{1}{x_1}⟹x_1=-\frac{1}{x}\text{（式3）}$ 由于前置条件 $x_1\ne 0$，由（式3）可知中点横坐标同样满足定义域边界： $x\ne 0$．

因为中点 $M(x,y)$ 在直线 $l$ 上，其坐标无条件满足直线的代数方程（式1）。将 $k=-\frac{1}{x_1}=x$ 以及（式3）中的参数 $x_1=-\frac{1}{x}$ 整体代入（式1）中，以消去中间参变量 $x_1$： $y=x\cdot x+1+\frac{1}{2}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^2$ 化简整理可得动点 $M$ 的完整轨迹方程为： $y=x^2+1+\frac{1}{2x^2}(x\ne 0)$

---

（2）若直线 $l$ 不过原点且与 $x$ 轴交于点 $S$，与 $y$ 轴交于点 $T$，试求 $\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|}$ 的取值范围

设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+b$。由于题目明确给出“直线 $l$ 不过原点”，且与两坐标轴均有交点 $S,T$，说明直线在两轴上的截距均存在且不为 0，即： $k\ne 0,b\ne 0$ 分别求出直线与 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点坐标：

• 令 $x=0⟹y=b⟹T(0,b)$；
• 令 $y=0⟹kx+b=0⟹x=-\frac{b}{k}⟹S\left(-\frac{b}{k},0\right)$．

设抛物线上的两个交点坐标分别为 $P(x_1,y_1)$， $Q(x_2,y_2)$。 因为点 $T,S,P,Q$ 均共线于直线 $l$ 上，根据平面几何平行投影的不变性（或相似三角形边长性质）： 直线 $l$ 上的任意两线段长度之比，严格等于这两条线段在 $x$ 轴上正交投影线段的长度之比。 各点在 $x$ 轴上的投影横坐标分别为： $T\to 0,S\to x_S=-\frac{b}{k},P\to x_1,Q\to x_2$

由此，目标几何比例式可无条件进行降维投影化简，消去高维距离根号： $\frac{|ST|}{|SP|}=\frac{|x_S-0|}{|x_S-x_1|}=\frac{|x_S|}{|x_S-x_1|}$ $\frac{|ST|}{|SQ|}=\frac{|x_S-0|}{|x_S-x_2|}=\frac{|x_S|}{|x_S-x_2|}$ 则待求目标代数式 $W$ 变形为： $W=\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|}=|x_S|\cdot \left(\frac{1}{|x_S-x_1|}+\frac{1}{|x_S-x_2|}\right)\text{（式4）}$

将直线 $y=kx+b$ 与抛物线方程 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 联立消去 $y$： $\frac{1}{2}{x}^2=kx+b⟹x^2-2kx-2b=0\text{（式5）}$ 由于直线与抛物线有两个相异交点，方程（式5）的两根即为 $x_1,x_2$。套用韦达定理： $x_1+x_2=2k,x_1{x}_2=-2b\text{（式6）}$

下面对（式4）中括号内部的代数因式进行化简。为了安全去掉绝对值符号，必须先精确判定点 $S$ 与交点 $P,Q$ 的空间相对排布顺序： 因为 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-2kx-2b=0$ 的两根，我们考查该二次多项式在点 $S$ 的横坐标 $x_S=-\frac{b}{k}$ 处的函数值符号： ${\left(x_S\right)}^2-2k\left(x_S\right)-2b={\left(-\frac{b}{k}\right)}^2-2k\left(-\frac{b}{k}\right)-2b=\frac{b^2}{k^2}+2b-2b=\frac{b^2}{k^2}$ 由于前置条件 $b\ne 0$，故 $\frac{b^2}{k^2}>0$ 严格恒正。 根据二次函数图象的区间分布特征，当一个点处的函数值大于 0 且开口向上时，说明该点 $x_S$ 必然分布在两根 $x_1,x_2$ 所夹的闭区间外部（即 $x_S$ 要么同时大于两根，要么同时小于两根）。 这导出了极其关键的同号恒等性质结论： $x_S-x_1$ 与 $x_S-x_2$ 符号严格相同（同为正或同为负）。

利用该同号性质，（式4）中的绝对值符号可以实施整体合并剥离： $W=\left|x_S\cdot \left(\frac{1}{x_S-x_1}+\frac{1}{x_S-x_2}\right)\right|=\left|x_S\cdot \frac{(x_S-x_2)+(x_S-x_1)}{(x_S-x_1)(x_S-x_2)}\right|$ $W=\left|x_S\cdot \frac{2x_S-(x_1+x_2)}{x_S^2-(x_1+x_2)x_S+x_1{x}_2}\right|$ 将韦达定理分量（式6）中的 $x_1+x_2=2k$ 及其 $x_1{x}_2=-2b$ 代入上式的分子与分母中： $W=\left|x_S\cdot \frac{2x_S-2k}{x_S^2-2k{x}_S-2b}\right|$ 已证分母多项式 $x_S^2-2k{x}_S-2b=\frac{b^2}{k^2}$。同时将分子上的 $x_S$ 替换为 $-\frac{b}{k}$： $W=\left|\left(-\frac{b}{k}\right)\cdot \frac{2\left(-\frac{b}{k}\right)-2k}{\frac{b^2}{k^2}}\right|=\left|\left(-\frac{b}{k}\right)\cdot \frac{k^2}{b^2}\cdot \left(-\frac{2b}{k}-2k\right)\right|$ 进行约分与括号分配律展开： $W=\left|-\frac{k}{b}\cdot \left(-\frac{2b}{k}-2k\right)\right|=\left|\left(-\frac{k}{b}\right)\left(-\frac{2b}{k}\right)+\left(-\frac{k}{b}\right)(-2k)\right|$ $W=\left|2+\frac{2k^2}{b}\right|\text{（式7）}$

为了求出 $W$ 的值域范围，需要寻找核心组合参数 $\frac{k^2}{b}$ 的边界约束： 回到联立方程（式5）满足双交点的充要判别式条件： $\Delta =(-2k{)}^2-4\times 1\times (-2b)=4k^2+8b>0$ 两边同时除以 4： $k^2+2b>0⟹k^2>-2b$ 由于 $k^2>0$ 恒成立，对参数 $b$ 的正负号进行分域讨论：

1. 当 $b>0$ 时： 由于 $k^2>0$，显然商式 $\frac{k^2}{b}>0$ 恒成立。 代入（式7）中，由于去绝对值内部均为正数： $W=2+2\cdot \frac{k^2}{b}>2$
2. 当 $b<0$ 时： 此时 $-2b>0$。不等式 $k^2>-2b$ 两边同时除以负数 $b$，导致不等号发生反转： $\frac{k^2}{b}<\frac{-2b}{b}⟹\frac{k^2}{b}<-2$ 对该不等式两边同时乘以 2，再统一加上 2： $2\cdot \frac{k^2}{b}<-4⟹2+2\cdot \frac{k^2}{b}<-2$ 代入（式7）的绝对值运算中，负数的绝对值化为对应的正数： $W=\left|2+2\cdot \frac{k^2}{b}\right|>|-2|=2$

综合上述两种分域讨论结果，无论参数 $b$ 取何值，目标代数式 $W$ 的值均严格大于 2。 由于 $k,b$ 可以无限连续变动，该范围可以无限向右上延伸，即 $W\in (2,+\infty )$．

所以， $\frac{|ST|}{|SP|}+\frac{|ST|}{|SQ|}$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数切线斜率与法线垂直斜率的代数转换；割线中点轨迹方程的“联立-韦达-消参”标准流程；平行投影定理在化简共线距离比值中的决定性应用；二次函数区间外侧判定准则（$f(x_0)>0\wedge a>0⟹x_0\notin [x_1,x_2]$）。
2. 核心方法：射影几何投影化简法（一记秒杀复杂距离比）、分域代数不等式边界推导法。
3. 避坑指南：
   • 第二问直接套用两点间距离公式导致运算直接崩溃：这是本场考试中最普遍的毁灭性失分点。95% 以上的学生看到 $\frac{|ST|}{|SP|}$，习惯性盲目用根号公式 $\frac{\sqrt{(x_S-x_T{)}^2+(y_S-y_T{)}^2}}{\sqrt{(x_S-x_P{)}^2+(y_S-y_P{)}^2}}$ 展开。由于含有四个相异点的四组横纵坐标交织，会产生长达数页且无法因式分解的复杂繁分式，属于考场上绝对死路。请死牢记解析几何至高备考口诀：凡在同一条直线上求两线段的长度之比，必须无条件利用平行投影定理转化为横坐标之比（或纵坐标之比），瞬间剥离所有根号与斜率因子。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查高中解析几何最高水准（仿射性质、射影不变性、圆锥曲线综合控制）的顶级压轴大题，属于最高难度阶梯题。
2. 结论推广: 求抛物线的切线方程，可设切点或切线斜率，联立方程后用判别式 $\Delta =0$ 求切线，或利用导数求切点处切线斜率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-21 解-抛物线与定比轨迹
• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 2006-重庆文-22 解-抛物线焦点弦与切线