2006-重庆文-13 填-同角三角函数求值

本题导读

本题考查同角三角函数，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 已知 $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$，则 $\tan \alpha =$　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha$ 在第二象限，$\cos \alpha <0$。
2. $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
3. $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{5}/5}{-\sqrt{5}/5}=-2$。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$，$\cos \alpha <0$，故 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}.$ 于是 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数求值

核心方法：$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$，$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\tan \alpha =-2$

避坑指南：第二象限余弦为负；$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{5}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 同角三角函数基本关系

结论推广: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$，第二象限 $\cos \alpha <0$

方法推广: 由象限定余弦符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-北京文-09 填-同角三角求值
• 2008-四川文-04 单-切化弦化简
• 2008-北京文-09 填-正切二倍角
• 2008-江苏卷-15 解-三角定义求值