2005-重庆卷文-13 填-三角恒等式求正切值

本题导读

本题考查三角恒等式求正切值，以及弦化切比较法。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 已知 $\alpha$、$\beta$ 均为锐角，且 $\cos (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$，则 $\tan \alpha =$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin (\alpha -\beta )=\cos \left(\frac{\pi }{2}-(\alpha -\beta )\right)$。
2. $\cos$ 在 $(0,\pi )$ 上单调：$\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}-(\alpha -\beta )$。
3. $2\alpha =\frac{\pi }{2}$，$\alpha =\frac{\pi }{4}$，$\tan \alpha =1$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin (\alpha -\beta )=\cos \left(\frac{\pi }{2}-(\alpha -\beta )\right)$，条件化为 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta \right)$．因为 $\alpha ,\beta$ 为锐角，$\alpha +\beta \in (0,\pi )$，$\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta \in (0,\pi )$，$\cos$ 在 $(0,\pi )$ 上单调，故 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta$，解得 $2\alpha =\frac{\pi }{2}$，$\alpha =\frac{\pi }{4}$，所以 $\tan \alpha =1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等式求正切值

核心方法：$\cos (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )=\cos \left(\frac{\pi }{2}-(\alpha -\beta )\right)$，比较得 $\tan \alpha =1$

避坑指南：两锐角和差：$\cos (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$ 化同名后 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}-(\alpha -\beta )$，解出 $\tan \alpha$——注意 $\cos$ 单射在 $(0,\pi )$ 成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 和差角公式

结论推广：$\cos (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )\Rightarrow \alpha +\beta +\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}$，$\tan \alpha =1$

方法推广：异名三角函数相等先化同名（$\sin =\cos$ 互化用互余），再用 $(0,\pi )$ 上 $\cos$ 单调

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2006-重庆文-13 填-同角三角函数求值
• 2007-大纲Ⅰ文-02 单-同角三角函数求值
• 2009-辽宁文-08 单-同角三角齐次式