2006-江苏卷-03 单-平均数方差定差

本题导读

由 $\bar{x}=10$ 得 $x+y=20$，由 $s^2=2$ 得 $x^2+y^2=208$，故 $|x-y|=4$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 某人 $5$ 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 $x$，$y$，$10$，$11$，$9$。已知这组数据的平均数为 $10$，方差为 $2$，则 $|x-y|$ 的值为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平均数 $\frac{x+y+10+11+9}{5}=10$，得 $x+y=20$。
2. 方差 $\frac{(x-10{)}^2+(y-10{)}^2+0+1+1}{5}=2$。
3. 展开得 $x^2+y^2-20(x+y)+202=10$，代入 $x+y=20$ 得 $x^2+y^2=208$。
4. $(x-y{)}^2=2(x^2+y^2)-(x+y{)}^2=416-400=16$，故 $|x-y|=4$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由平均数得 $\frac{x+y+10+11+9}{5}=10$，即 $x+y=20$。 由方差公式 $s^2=\frac{1}{5}\left[(x-10{)}^2+(y-10{)}^2+(10-10{)}^2+(11-10{)}^2+(9-10{)}^2\right]=2$， 得 $(x-10{)}^2+(y-10{)}^2+2=10$，即 $(x-10{)}^2+(y-10{)}^2=8$。 展开：$x^2+y^2-20(x+y)+200=8$，代入 $x+y=20$ 得 $x^2+y^2-400+200=8$，故 $x^2+y^2=208$。 于是 $(x-y{)}^2=x^2+y^2-2xy$，而 $2xy=(x+y{)}^2-(x^2+y^2)=400-208=192$， 所以 $(x-y{)}^2=208-192=16$，$|x-y|=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平均数方差定差

核心方法：平均数方差方程组

避坑指南：由平均数得 $x+y=20$，由方差得 $x^2+y^2=208$，故 $(x-y{)}^2=2(x^2+y^2)-(x+y{)}^2=16$，$|x-y|=4$；方差公式要乘 $\frac{1}{5}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自统计中平均数与方差定义的直接运用，考查数据特征量的代数关系

结论推广: 由 $\bar{x}$、$s^2$ 反推数据差 $|x-y|$，可推广到任意两未知数据的方差反解

方法推广: 方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 展开后与平均数联合消元

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2014-陕西卷文-09 单-均值与方差
• 2020-新课标III文-03 单-方差性质