2006-广东卷-16 解-分布列与数学期望

本题导读

(1) 两次都命中 7 环的概率 $0.2^2=0.04$；(2) $\xi$ 取 $7,8,9,10$，$P(\xi =7)=0.04$、$P(\xi =8)=0.21$、$P(\xi =9)=0.39$、$P(\xi =10)=0.36$；(3) $E(\xi )=7\times 0.04+8\times 0.21+9\times 0.39+10\times 0.36=9.07$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 某运动员射击一次所得环数 $X$ 的分布列如下：

$X$	$0\sim 6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$P$	$0$	$0.2$	$0.3$	$0.3$	$0.2$

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 $\xi$。

(1) 求该运动员两次都命中 $7$ 环的概率；

(2) 求 $\xi$ 的分布列；

(3) 求 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi )$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 两次独立，每次命中 7 环概率 $0.2$，两次都中 7 环概率 $0.2^2=0.04$。
2. (2) $\xi$ 是两次环数的最大值，取 $7,8,9,10$。先求累积概率 $P(\xi ⩽k)$，再差分。
3. $P(\xi =7)=0.2^2=0.04$；$P(\xi =8)=0.5^2-0.2^2=0.21$；$P(\xi =9)=0.8^2-0.5^2=0.39$；$P(\xi =10)=1-0.8^2=0.36$。
4. (3) $E(\xi )=7\times 0.04+8\times 0.21+9\times 0.39+10\times 0.36=9.07$。

✅【答案】

Success

(1) $0.04$

(2) $\xi$ 的分布列为 $7:0.04,8:0.21,9:0.39,10:0.36$

(3) $9.07$

✍【详细解析】

Abstract

（1）两次射击相互独立，且每次命中 $7$ 环的概率为 $0.2$，故两次都命中 $7$ 环的概率为 $0.2^2=0.04$． （2）$\xi$ 是两次射击环数的最大值，用累积概率法：

P(\xi=7)&=P(\xi\leqslant7)=0.2^2=0.04,\\ P(\xi=8)&=P(\xi\leqslant8)-P(\xi\leqslant7)=0.5^2-0.2^2=0.21,\\ P(\xi=9)&=P(\xi\leqslant9)-P(\xi\leqslant8)=0.8^2-0.5^2=0.39,\\ P(\xi=10)&=1-P(\xi\leqslant9)=1-0.8^2=0.36. \end{aligned}$$ 所以 $\xi$ 的分布列为 | $\xi$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | |---|---|---|---|---| | $P$ | $0.04$ | $0.21$ | $0.39$ | $0.36$ | （3）数学期望 $$E(\xi)=7\times0.04+8\times0.21+9\times0.39+10\times0.36=9.07.$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分布列与数学期望

核心方法：(1) 两次都 7 环 $0.2^2=0.04$；(2) $\xi$ 取 7,8,9,10，$P=0.04,0.21,0.39,0.36$；(3) $E=9.07$

避坑指南：最高环数 $\xi ⩽k$ 的概率是两次都 $⩽k$ 的概率；用 $P(\xi =k)=P(\xi ⩽k)-P(\xi ⩽k-1)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 分布列与数学期望，最大值分布

结论推广: $P(\xi =k)=P(\xi ⩽k)-P(\xi ⩽k-1)$；$E=\sum k\cdot P_k=9.07$

方法推广: 最大值分布的求法：先求累积概率再差分

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2008-广东卷理-17 解-分布列
• 2007-大纲卷I理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望