2006-安徽文-09 单-三角图象平移定式

本题导读

本题考查三角函数的图象变换，以及图象平移。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 将函数 $y=\sin \omega x$（$\omega >0$）的图象按向量 $\vec{a}=\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是 ()

A. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$　　　B. $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$　　　C. $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$　　　D. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 按向量 $(-\frac{\pi }{6},0)$ 平移即向左平移 $\frac{\pi }{6}$：$y=\sin [\omega (x+\frac{\pi }{6})]$。
2. 图中谷底标注 $x=\frac{7\pi }{12}$：代入得 $\omega \left(\frac{7\pi }{12}+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3\pi }{2}$，即 $\frac{3\pi }{4}\omega =\frac{3\pi }{2}$，$\omega =2$。
3. 故平移后解析式为 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

按向量 $\vec{a}=\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 平移，即向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位， 所得图象对应 $y=\sin \left[\omega \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\right]=\sin \left(\omega x+\frac{\omega \pi }{6}\right)$。 由图象，最高点为 $\left(\frac{\pi }{12},1\right)$：代入得 $\omega \left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $\frac{\omega }{4}=\frac{\pi }{2}$（取 $k=0$），$\omega =2$。 所以平移后的解析式为 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，选 C。 （验证：谷底在 $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}$ 即 $x=\frac{7\pi }{12}$，与图中标注一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角图象平移定式

核心方法：平移左减右加再对解析式

避坑指南：按 $\vec{a}=(-\frac{\pi }{6},0)$ 左移：$y=\sin [\omega (x+\frac{\pi }{6})]$；由图象周期读 $\omega =2$，得 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三角图象平移与待定系数，图象信息读取题

结论推广: 由平移向量写解析式再由图定 $\omega$，推广到一般图象定参

方法推广: 平移按向量 $(-\frac{\pi }{6},0)$ 即左移 $\frac{\pi }{6}$，相位 $+\frac{\pi }{6}$ 与 $\omega$ 相乘后定

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2010-四川卷文-07 单-三角图象平移伸缩