2004-全国卷I文-09 单-三角函数图象平移

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换，以及诱导公式的运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 为了得到函数 $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象，可以将函数 $y=\cos 2x$ 的图象()

A. 向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度　　　　　　B. 向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度

C. 向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度　　　　　　D. 向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)=\cos \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)$。
2. $\cos \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos 2\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$，即向右平移 $\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left[\frac{\pi }{2}-\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\right]=\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)=\cos \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos 2\left(x-\frac{\pi }{3}\right)$.它可由 $y=\cos 2x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度得到，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图象平移
2. 核心方法：$\sin (2x-\frac{\pi }{6})=\cos (\frac{2\pi }{3}-2x)=\cos 2(x-\frac{\pi }{3})$，即 $y=\cos 2x$ 向右平移 $\frac{\pi }{3}$
3. 避坑指南：化正弦为余弦：$\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$，再用 $\cos$ 偶函数整理；平移量由 $2x\to 2(x-\frac{\pi }{3})$ 定——别把平移误为 $\frac{\pi }{6}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数的图象变换，教材”三角函数的图象”平移问题
2. 结论推广: 一般化：$y=\sin (\omega x+\phi )$ 与 $y=\cos \omega x$ 的互化与平移，注意”先周期后相位”；化异名为同名（正余弦互化），再定平移方向与大小

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-湖北文-04 单-三角函数图象平移
• 2008-大纲Ⅰ文-09 单-三角图象平移
• 2006-安徽文-09 单-三角图象平移定式