2006-四川文-15 填-椭圆焦点距离和

本题导读

本题考查椭圆，以及焦点。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 如图，把椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 的长轴 $AB$ 分成 $8$ 等份，过每个分点作 $x$ 轴的垂线交椭圆的上半部分于 $P_1,P_2,\cdots ,P_7$ 七个点，$F$ 是椭圆的一个焦点，则 $|P_{1}F|+|P_{2}F|+\cdots +|P_{7}F|=$　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆 $a=5$，$b=4$，由第一定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=10$。
2. 七个点 $P_1,\dots ,P_7$ 的横坐标关于中心 $O$ 对称，$P_4$ 在短轴端点正上方（横坐标 $0$）。
3. 对每个 $i$，$|P_{i}F|+|P_i{F}^{\prime }|=10$（$F^{\prime }$ 为另一焦点），且 $P_i$ 与 $P_{8-i}$ 关于 $y$ 轴对称。
4. $|P_{i}F|+|P_{8-i}F|=10$（利用对称与定义），$|P_{4}F|=5$。
5. 总和 $=3\times 10+5=35$。

✅【答案】

Success

$35$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 中 $a=5$，由椭圆第一定义，对椭圆上任一点 $P$，到两焦点距离之和 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=10$． 设另一焦点为 $F^{\prime }$，七点 $P_1,\dots ,P_7$ 的横坐标关于中心 $O$ 对称，故 $P_i$ 与 $P_{8-i}$（$i=1,2,3$）关于 $y$ 轴对称，$P_4$ 在 $y$ 轴上． 由对称性与第一定义：$|P_{i}F|+|P_{8-i}F|=|P_{i}F|+|P_i{F}^{\prime }|=10$（$i=1,2,3$），且 $|P_{4}F|=a=5$． 故 $|P_{1}F|+\cdots +|P_{7}F|=3\times 10+5=35.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点距离和

核心方法：由椭圆第一定义，$|P_{i}F|+|P_i{F}^{\prime }|=2a=10$，七个点关于中心对称配对，和为 $7\times 5=35$

避坑指南：利用焦点距离和 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=10$；$P_4$ 是顶点处 $|P_{4}F|=5$，其余六点两两配对

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆第一定义

结论推广: $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$（常数）

方法推广: 利用定义对称配对求和，避免逐个硬算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2008-新课标Ⅰ文-15 填-椭圆弦三角形面积
• 2008-四川文-22 解-椭圆准线与向量最值
• 2008-安徽文-22 解-椭圆焦点弦最值