2004-全国卷I文-07 单-椭圆焦点弦长

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及焦点弦长度的计算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，过 $F_1$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 $P$，则 $|\overrightarrow{P{F}_2}|=$()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\frac{7}{2}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=2$，$b=1$，$c=\sqrt{3}$；$x=-\sqrt{3}$ 代入椭圆得 $y=\pm \frac{1}{2}$，$|P{F}_1|=\frac{1}{2}$。
2. 由定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=4$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

椭圆中 $a=2$，$b=1$，$c=\sqrt{3}$，$F_1(-\sqrt{3},0)$.将 $x=-\sqrt{3}$ 代入 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 得 $y^2=\frac{1}{4}$，故 $|P{F}_1|=\frac{1}{2}$（通径的一半 $\frac{b^2}{a}$）．由椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=4$，所以 $|P{F}_2|=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点弦长
2. 核心方法：椭圆 $a=2,b=1,c=\sqrt{3}$；$x=-\sqrt{3}$ 代入得 $y=\pm \frac{1}{2}$，$|P{F}_1|=\frac{1}{2}$；由定义 $|P{F}_2|=2a-|P{F}_1|=\frac{7}{2}$
3. 避坑指南：通径一半长 $\frac{b^2}{a}=\frac{1}{2}$；椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=4$，故 $|P{F}_2|=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$——别直接算 $F_{2}P$ 距离

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于椭圆的定义与通径，教材”椭圆”焦点弦长问题
2. 结论推广: 一般化：椭圆通径（过焦点垂直长轴）长为 $\frac{2b^2}{a}$，半通径 $\frac{b^2}{a}$；利用椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$ 求另一段，比直接算距离快

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-15 填-椭圆焦点距离和
• 2008-浙江文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2010-大纲Ⅱ文-12 单-椭圆焦点弦定斜率