2006-北京文-07 单-空间四点位置关系

本题导读

本题考查空间点线面位置关系，以及异面直线。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 设 $A,B,C,D$ 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()

A. 若 $AC$ 与 $BD$ 共面，则 $AD$ 与 $BC$ 共面

B. 若 $AC$ 与 $BD$ 是异面直线，则 $AD$ 与 $BC$ 是异面直线

C. 若 $AB=AC$，$DB=DC$，则 $AD=BC$

D. 若 $AB=AC$，$DB=DC$，则 $AD\perp BC$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A：$AC$ 与 $BD$ 共面则 $A,B,C,D$ 四点共面，$AD$ 与 $BC$ 自然共面，正确。
2. B：若 $AD$ 与 $BC$ 共面，则四点共面，与 $AC,BD$ 异面矛盾，正确（反证）。
3. C/D：$AB=AC,DB=DC$ 说明 $A,D$ 都在线段 $BC$ 的垂直平分面上，故 $AD$ 在该平面内，而 $BC$ 垂直于该平面，得 $AD\perp BC$（D 正确）；但 $AD$ 与 $BC$ 的长度没有必然联系（C 不正确）。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

A．$AC$ 与 $BD$ 共面，则 $A,B,C,D$ 四点共面，于是 $AD$ 与 $BC$ 是该平面内的两条线段，必共面，命题正确． B．反证：若 $AD$ 与 $BC$ 共面，则 $A,B,C,D$ 四点共面，从而 $AC$ 与 $BD$ 共面，与已知矛盾，命题正确． C、D．由 $AB=AC$ 知 $A$ 在线段 $BC$ 的垂直平分面上；由 $DB=DC$ 知 $D$ 也在该垂直平分面上，故直线 $AD$ 在该平面内． 而 $BC$ 垂直于该垂直平分面，所以 $AD\perp BC$，命题 D 正确； 但 $AD$ 的长度与 $BC$ 的长度没有必然联系（如取 $A,D$ 在平面内相距很远的两点），命题 C 不正确． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间四点位置关系

核心方法：共面向量判定与异面反证

避坑指南：$AC$ 与 $BD$ 共面则四点共面，$AD$ 与 $BC$ 自然共面；$C$ 中条件只能推出 $AD\perp BC$（等腰三角形三线合一的空间推广），推不出 $AD=BC$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 空间点线面位置关系，抽象推理论证题

结论推广: 四点共面的判定与异面直线的定义相结合，等腰三角形三线合一的空间推广

方法推广: 空间位置关系命题真假判断：用反例与反证法，结合平几结论推广

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-06 单-共面棱条数
• 2008-四川文-19 解-梯形组合体共面垂直
• 2011-广东卷文-18 解-半圆柱共面与垂直