2006-全国卷II文-02 单-集合交集解不等式

本题导读

本题考查集合的运算，以及对数不等式。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知集合 $M=\{x\mid x<3\}$，$N=\{x\mid {\log }_{2}x>1\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\varnothing$　　　　　B. $\{x\mid 0<x<3\}$　　　　　C. $\{x\mid 1<x<3\}$　　　　　D. $\{x\mid 2<x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解 ${\log }_{2}x>1$ 得 $x>2$，故 $N=\{x\mid x>2\}$。
2. $M=\{x\mid x<3\}$。
3. 交集 $M\cap N=\{x\mid 2<x<3\}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{2}x>1={\log }_{2}2$ 且 $y={\log }_{2}x$ 单调递增，得 $x>2$，故 $N=\{x\mid x>2\}$． 又 $M=\{x\mid x<3\}$，所以 $M\cap N=\{x\mid 2<x<3\}$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集解不等式

核心方法：$N=\{x\mid {\log }_{2}x>1\}=\{x\mid x>2\}$，$M\cap N=\{x\mid 2<x<3\}$

避坑指南：先解对数不等式得 $x>2$（底数大于 $1$ 时不等号方向不变）；交集是公共部分，取 $2<x<3$ 而非 $1<x<3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 集合交并补与解不等式结合，是历年选择题高频题

结论推广: 先解出每个集合再求交并，$M\subset N$ 时交是 $M$、并是 $N$

方法推广: 把对数、绝对值、二次不等式统一化为区间，再数轴标出公共部分

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-02 单-集合交集运算
• 2008-新课标Ⅰ文-01 单-集合交集
• 2009-陕西卷文-01 单-集合交集