2006-全国卷I文-08 单-等比数列余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理，以及等比数列的性质。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $a,b,c$ 成等比数列，且 $c=2a$，则 $\cos B=$()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a,b,c$ 成等比数列，$b^2=ac$。
2. 又 $c=2a$，故 $b^2=2a^2$，$b=\sqrt{2}a$。
3. 由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $a,b,c$ 成等比数列，得 $b^2=ac$．又 $c=2a$，故 $b^2=2a^2$，即 $b=\sqrt{2}a$． 由余弦定理， $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+4a^2-2a^2}{2a\cdot 2a}=\frac{3a^2}{4a^2}=\frac{3}{4}$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列余弦定理

核心方法：$b^2=ac=2a^2$，$b=\sqrt{2}a$，$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+4a^2-2a^2}{4a^2}=\frac{3}{4}$

避坑指南：等比数列给 $b^2=ac$，结合 $c=2a$ 消元；余弦定理分子别把 $c^2=4a^2$ 与 $b^2=2a^2$ 代错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于余弦定理与等比数列性质的结合，教材”余弦定理”综合题

结论推广: 一般化：三角形三边成等比时可用 $b^2=ac$ 消元，再结合已知边比用余弦定理求角

方法推广: 等比中项与余弦定理联立，把三边都用一个字母表示，代入余弦公式约分

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-17 解-解三角形求边周长
• 2009-大纲Ⅰ文-18 解-解三角形求边
• 2008-新课标Ⅰ文-17 解-解三角形综合