2004-北京春文-16 解-等比数列与解三角形

本题导读

本题考查等比数列与解三角形。核心在于由三边成等比化齐次，求出三角形形状再求值。

📌【题干】

Question

在 $△ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是 $\angle A,\angle B,\angle C$ 的对边长，已知 $a,b,c$ 成等比数列，且 $a^2-c^2=ac-bc$，求 $\angle A$ 的大小及 $\frac{b\sin B}{c}$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $b^2=ac$，设 $t=\sqrt{\frac{a}{c}}>0$，则 $a=c{t}^2,b=ct$。
2. 代入 $a^2-c^2=ac-bc$ 得 $t^4-t^2+t-1=0$。
3. 因式分解得 $t=1$，故 $a=b=c$。

✅【答案】

Success

$\angle A=60^{\circ }$，$\frac{b\sin B}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $a,b,c$ 成等比数列且均为三角形边长，故 $b^2=ac$．设 $t=\sqrt{\frac{a}{c}}>0$，则 $a=c{t}^2$、$b=ct$．代入 $a^2-c^2=ac-bc$，得 $c^2(t^4-1)=c^2(t^2-t)$，即 $t^4-t^2+t-1=0$．因 $t^4-t^2+t-1=(t-1)(t^3+t^2+1)$ 且 $t^3+t^2+1>0$，故 $t=1$，从而 $a=b=c$，$△ABC$ 为等边三角形，$\angle A=60^{\circ }$，$\angle B=60^{\circ }$．于是 $\frac{b\sin B}{c}=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与解三角形

核心方法：$a,b,c$ 成等比 $b^2=ac$；设 $t=\sqrt{\frac{a}{c}}>0$，代入 $a^2-c^2=ac-bc$ 得 $t=1$，故 $a=b=c$ 等边，$\angle A=60^{\circ }$，$\frac{b\sin B}{c}=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

避坑指南：$b^2=ac$ 令 $t=\sqrt{\frac{a}{c}}$ 化齐次；$t^4-t^2+t-1=(t-1)(t^3+t^2+1)$，$t^3+t^2+1>0$ 故 $t=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列与解三角形，教材”数列”与”余弦定理”

结论推广：一般化：三边成等比 $b^2=ac$，令 $t=\sqrt{\frac{a}{c}}$ 化齐次解 $t$

方法推广：代入已知等式化关于 $t$ 的多项式，因式分解取正根

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I文-08 单-等比数列余弦定理
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2007-大纲Ⅰ文-17 解-正余弦定理解三角形

专题合集 (Series)