2005-湖南卷文-16 解-对数等差数列与裂项放缩

本题导读

本题考查等差数列与对数运算的综合，以及数列不等式的证明。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)）已知数列 ${lo g_{2} (a_{n} - 1)}$ （ $n \in N^{*}$ ）为等差数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{3} = 9$ ．

(1)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)证明： $\frac{1}{a _{2} - a _{1}} + \frac{1}{a _{3} - a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n + 1} - a _{n}} < 1$ ．

🔍【思路分析】

破题导航

设 $d_{n} = lo g_{2} (a_{n} - 1)$ ， $d_{1} = 1$ 、 $d_{3} = 3$ ，公差 1， $d_{n} = n$ 。

$a_{n} - 1 = 2^{n}$ ， $a_{n} = 2^{n} + 1$ 。

$a_{k + 1} - a_{k} = 2^{k}$ ，求和 $\sum \frac{1}{2 ^{k}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} < 1$ 。

✅【答案】

Success

（1） $a_{n} = 2^{n} + 1$ ；（2）证明见解析．

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $d_{n} = lo g_{2} (a_{n} - 1)$ ．由题意 ${d_{n}}$ 是等差数列， $d_{1} = lo g_{2} (3 - 1) = 1$ ， $d_{3} = lo g_{2} (9 - 1) = 3$ ，故公差 $d = \frac{d _{3} - d _{1}}{2} = 1$ ，从而 $d_{n} = 1 + (n - 1) = n$ ．于是 $a_{n} - 1 = 2^{d_{n}} = 2^{n}$ ，即 $a_{n} = 2^{n} + 1$ ．（2）对 $k \in N^{*}$ ， $a_{k + 1} - a_{k} = (2^{k + 1} + 1) - (2^{k} + 1) = 2^{k}$ ．所以 $\frac{1}{a _{2} - a _{1}} + \frac{1}{a _{3} - a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n + 1} - a _{n}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} < 1$ ，命题得证．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数等差数列与裂项放缩

核心方法： $d_{n} = lo g_{2} (a_{n} - 1)$ 等差： $d_{1} = 1$ 、 $d_{3} = 3$ 公差 1 $\Rightarrow a_{n} = 2^{n} + 1$ ；裂项 $\frac{1}{2 ^{k}} 求和$

避坑指南： ${a_{n} - 1}$ 才是 $2^{n}$ ；求和项是 $\frac{1}{a _{k + 1} - a _{k}} = \frac{1}{2 ^{k}}$ ——首项从 $k = 1$ 起，和 $1 - \frac{1}{2 ^{n}} < 1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 数列与放缩

结论推广： $a_{n} = 2^{n} + 1$ ； $\sum \frac{1}{a _{k + 1} - a _{k}} = \sum \frac{1}{2 ^{k}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} < 1$

方法推广：对数等差 $⟺$ 真数成等比；证明”和小于 1”用等比求和的精确值再放缩

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