2004-全国卷III理-16 填-抛物线的定义与标准方程

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程，以及抛物线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 设 $P$ 是曲线 $y^2=4(x-1)$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $(0,1)$ 的距离与点 $P$ 到 $y$ 轴的距离之和的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析曲线类型与基本量：曲线 $y^2=4(x-1)$ 是由标准抛物线 $y^2=4x$ 向右平移 1 个单位得到的。标准抛物线 $y^2=4x$ 的 $2p=4⟹p=2$，焦点为 $(1,0)$，准线方程为 $x=-1$。平移后，新曲线的顶点为 $(1,0)$，焦点 $F$ 变为 $(1+1,0)=(2,0)$，准线 $l$ 变为 $x=-1+1=0$（即 $y$ 轴）。
2. 巧妙利用几何定义：点 $P$ 到 $y$ 轴的距离，恰好等价于点 $P$ 到平移后抛物线准线的距离。根据抛物线的定义，点 $P$ 到准线（$y$ 轴）的距离恒等于点 $P$ 到焦点 $F(2,0)$ 的距离。
3. 转化两点之间距离：记外点为 $M(0,1)$。原求和式 $|PM|+d(P,y\text{轴})$ 转化为 $|PM|+|PF|$。根据三角形两边之和大于第三边（两点之间线段最短），当 $M,P,F$ 三点共线时，该和式取得最小值，即为线段 $|MF|$ 的长度。

✅【答案】

Success

$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（几何定义法）： 将曲线方程 $y^2=4(x-1)$ 视为标准抛物线 $y^2=4x$ 整体向右平移 1 个单位得到。

• 对于标准抛物线 $y^2=4x$，其参数 $p=2$，焦点为 $(1,0)$，准线为 $x=-1$。
• 向右平移 1 个单位后，曲线 $y^2=4(x-1)$ 的顶点为 $(1,0)$，焦点 $F$ 坐标变为 $(2,0)$，准线方程变为 $x=-1+1=0$，即 $y$ 轴就是该抛物线的准线。

根据抛物线的几何定义，抛物线上的任意一点 $P$ 到准线的距离等于它到焦点的距离。 设点 $P$ 到 $y$ 轴（准线）的距离为 $d$，则恒有： $d=|PF|$ 设外点 $M(0,1)$。题目要求解的距离之和为： $S=|PM|+d=|PM|+|PF|$

根据平面几何性质，当且仅当点 $P$ 位于线段 $MF$ 与抛物线的交点位置（即 $M,P,F$ 三点共线）时， $|PM|+|PF|$ 取得绝对最小值，最小值为线段 $MF$ 的长度： $S_{\min }=|MF|$

利用两点间距离公式，计算 $M(0,1)$ 与 $F(2,0)$ 的距离： $|MF|=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

所以，该距离之和的最小值为 $\sqrt{5}$。

方法二（纯代数坐标法）： 设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。因为点 $P$ 在曲线 $y^2=4(x-1)$ 上，所以有 $x=\frac{y^2}{4}+1$，由于 $y^2⩾0$，显然 $x⩾1$。 点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离为 $|x|=x$（因为 $x⩾1$）。 点 $P(x,y)$ 到点 $M(0,1)$ 的距离为 $\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$。 建立距离和函数： $f(y)=x+\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$ 将 $x^2+(y-1{)}^2$ 展开并用 $y$ 的代数式替换 $x$： $x^2+(y-1{)}^2=x^2+y^2-2y+1$ 由于 $y^2=4(x-1)=4x-4$，代入上式得： $x^2+(4x-4)-2y+1=x^2+4x-2y-3$ 注意到 $(x+2-y{)}^2=x^2+4+y^2+4x-2xy-4y$，难以直接开方，因此代数法在根式展开时对技巧性要求极高。

我们可以改变消元方向，将根式内部全部转化为关于 $x$ 的函数： 由于点 $P$ 到焦点 $F(2,0)$ 的距离为 $|PF|=\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=\sqrt{x^2-4x+4+(4x-4)}=\sqrt{x^2}=x$（再次印证了定义法）。 而满足两点距离和最小的几何意义即为上面方法一的连线长度。

答：$\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平移抛物线的焦点与准线方程、抛物线的定义转化（将到准线的距离转化为到焦点的距离）、两点间线段最短模型。
2. 核心方法：几何化归转化法。
3. 避坑指南：
   • 切忌直接套用标准抛物线公式而忽略了平移量。很多同学看到 $y^2=4x$ 形式就直接认为焦点是 $(1,0)$，从而计算 $(0,1)$ 到 $(1,0)$ 的距离得到 $\sqrt{2}$。务必看清自变量处的 $(x-1)$，平移后的顶点、焦点、准线全部都要整体向右平移 1 个单位。
   • 观察到“到 $y$ 轴的距离”时，应当立即联想到抛物线的准线，一旦这二者重合，便是使用抛物线定义“以直代斜”或“以斜代直”的经典秒杀信号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典解析几何中关于圆锥曲线定义运用的中档填空压轴题。
2. 结论推广: 一般地，设 $P$ 是抛物线 $(y-k{)}^2=2p(x-x_0)$ 上的动点，准线为 $l$。若要求点 $P$ 到外点 $M(x_m,y_m)$ 的距离与点 $P$ 到准线 $l$ 的距离之和的最小值，其几何本质永远等价于外点 $M$ 到该抛物线焦点 $F(x_0+\frac{p}{2},k)$ 的直接距离 $|MF|$（前提是外点 $M$ 位于抛物线开口的外部或轴线外侧侧，使连线能与抛物线相交）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1983-全国文-02 单-抛物线的焦点位置
• 1986-广东理-24 单-抛物线上的最值