2005-湖北卷理-12 单-古典概型与组合数公式

本题导读

本题将立体几何的共面问题与概率的组合计数完美融合，属于难度较高的压轴选择题。由于直接计算不共面的组合数较为繁琐，通过转向计算其对立事件——“取出的两个三角形共面”的概率，能够大幅简化逻辑与计算流程。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)） 12. 以平行六面体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率 $p$ 为 ()

A. $\frac{367}{385}$　　　　B. $\frac{376}{385}$　　　　C. $\frac{192}{385}$　　　　D. $\frac{18}{385}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总三角形个数：平行六面体共有 8 个顶点，任意三点不共线，因此共能构成 ${\mathrm{C}}_8^3=56$ 个三角形。
2. 计算随机抽取两个三角形的总基本事件数：从 56 个三角形中随机抽取 2 个，总组合数为 ${\mathrm{C}}_{56}^2$。
3. 利用对立事件分类清点“共面”的三角形对数：

• 找出平行六面体中由顶点构成的所有平面。
• 分别计算这些平面上包含的顶点数（ 4 个顶点的平面或 6 个顶点的平面）。
• 依据每个平面上的三角形数，计算同平面内任取 2 个三角形的组合数并累加。

4. 计算最终概率：利用 $p=1-P(\text{共面})$ 求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算总的样本空间大小 平行六面体共有 8 个顶点，且任意三点均不共线。 可构成的不同三角形总个数为： $N={\mathrm{C}}_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56\text{ 个}$ 从这 56 个三角形中随机取出 2 个，所有的取法总数（总基本事件数）为： $M={\mathrm{C}}_{56}^2=\frac{56\times 55}{2\times 1}=1540$

• 第二步：分类清点两个三角形“共面”的取法数 要让两个三角形共面，则这两个三角形的全部顶点（至多 6 个）必须落在平行六面体顶点所能确定的同一个平面上。我们对这些平面的类型进行分类：

• 第一类平面：含 4 个顶点的平面 这类平面是指由平行六面体的 4 个顶点所构成的平面，共有两小类：

  1. 矩形（或平行四边形）的 6 个外侧面（如面 $ABCD$，面 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 等）；
  2. 经过相对棱的 6 个对角面（如面 $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$，面 $BC{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ 等）。 此类平面总数共：$6+6=12$ 个。 每个含有 4 个顶点的平面内部，可以构成的三角形个数为 ${\mathrm{C}}_4^3=4$ 个。 在这 4 个三角形中任取 2 个，它们必然共面，组合数为 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。 因此，由含 4 顶点的平面贡献的共面三角形对数为： $12\times {\mathrm{C}}_4^2=12\times 6=72\text{ 种}$

• 第二类平面：含 6 个顶点的平面 在平行六面体中，是否存在包含 6 个顶点的平面？ 经过严密考查，若一个平面包含 6 个顶点，则其对立面只能留下 2 个顶点。根据平行六面体的中心对称性与平行结构，没有任何一个单一平面能同时穿过且仅穿过 6 个顶点。 (注：有考生会误认为大对角面延伸能含6点，但实际上如 $AC{D}^{\prime }$ 只有3点，若扩充为对角面也只包含4点，不存在含6点的平面)。

因此，两个三角形共面的总基本事件数仅由第一类平面决定，即共 $72$ 种。

• 第三步：求不共面的概率 两个三角形共面的概率为： $P(\text{共面})=\frac{72}{1540}=\frac{18}{385}$ 根据对立事件的概率公式，这两个三角形不共面的概率 $p$ 为： $p=1-P(\text{共面})=1-\frac{18}{385}=\frac{367}{385}$

故 (A) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的组合计数、平行六面体中“ 4 顶点共面”的几何特征清点、对立事件减法思想。
2. 核心方法：间接计数法（正难则反）。
3. 避坑指南：

• 对角面的个数极易漏数。外侧面有 6 个非常直观，但由于立体图形的纵深，对角面（如面 $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ 等）往往容易被漏掉。记住每个相对的棱对都能确定一个对角面， 12 条棱共有 6 对，因此对应 6 个对角面。
• 不要直接硬算“不共面”。 56 个三角形两两组合有 1540 种，其中不共面的占绝大多数（1468 种），直接去清点两个不共面三角形的位置关系，其分类将极其庞杂（有交于一点的、交于一线的、异面的），几乎不可能在高考有限时间内算对。必须牢记“正难则反”的解题黄金准则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自 2005 年湖北高考数学（理）第 12 题，是整张试卷选择题的压轴题。它将排列组合、概率与空间几何体的特征紧密结合，对考生的空间想象与逻辑计数能力有着极高的双重考核要求。
2. 结论推广: 对于任何具有 8 个顶点的六面体（如正方体、长方体、平行六面体），任意三点组成的三角形总数均为 56。其中，共面三角形的对数均为固定的 72 种（源于 12 个含 4 顶点的特征面）。因此，在所有此类规则八顶点几何体中，随机抽取两个三角形不共面的概率恒为 $\frac{367}{385}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)