2003-上海卷理-09 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型概率的计算，重点在于对“不属于同一个国家”这一事件的计数分析。通过引入对立事件（属于同一个国家），可大幅简化组合数的计算过程。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ________.（结果用分数表示）

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一（间接法）： “两人不属于同一个国家”的对立事件是“两人属于同一个国家”。由于同一国家包含美国、法国、中国三种可能，分别计算出这三种情况下选出 2 人的组合数，求和得到对立事件的总频数，进而求出对立事件的概率。最后用 1 减去对立事件的概率即可。
• 方法二（直接法）： 直接计算两人来自不同国家的情况，分为：（美，法）、（美，中）、（法，中）三类，分别计算组合数并相加，再除以总的基本事件数。

✅【答案】

Success

$\frac{119}{190}$

✍【详细解析】

Abstract

解析一（间接法）： 项目总人数为：$11+4+5=20$ 人。 从 20 人中随机选出 2 人的基本事件总数为： $N=C_{20}^2=\frac{20\times 19}{2\times 1}=190$ 设事件 $A$ 为“选出的两人不属于同一个国家”，则其对立事件 $\overline{A}$ 为“选出的两人属于同一个国家”。 两人属于同一个国家的情况可分为以下三类：

1. 两人都是美国人：$C_{11}^2=\frac{11\times 10}{2\times 1}=55$ 种；
2. 两人都是法国人：$C_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$ 种；
3. 两人都是中国人：$C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ 种。 所以，两人属于同一个国家的组合数为： $m=55+6+10=71$ 对立事件的概率为： $P(\overline{A})=\frac{71}{190}$ 因此，此两人不属于同一个国家的概率为： $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{71}{190}=\frac{119}{190}$

故答案为 $\frac{119}{190}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型计算公式 P(A) = \frac{A\text{包含的基本事件数}}{总的基本事件数}}；对立事件性质 $P(A)=1-P(\overline{A})$。
2. 核心方法：“正难则反”策略。当正面分类较多（如本题直接法需分三类且每类要作乘法）或计算较繁琐时，考虑先求其反面。
3. 避坑指南：
   • 总人数点错：部分考生在计算总基本事件数时，容易把 $11+4+5$ 算错，导致分母错误。
   • 组合数公式计算失误：如把 $C_{11}^2$ 误算为 $11\times 10=110$，漏掉除以 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于概率与计数原理章节的典型课本变式题，考查抽样问题中的不放回随机抽取，是高考古典概型板块的常考题型。
2. 结论推广: 若将题目推广至更一般的情形：有 $k$ 个不同的群体，人数分别为 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$，总人数为 $n={\sum }_{i=1}^k{n}_i$。从中任取 2 人，则这 2 人来自不同群体的概率通用表达式为： $P=1-\frac{{\sum }_{i=1}^k{C}_{n_i}^2}{C_n^2}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-12 单-古典概型与组合数公式
• 1998-上海文-07 填-古典概型的概率
• 1998-上海理-07 填-古典概型的概率