2005-湖北卷理-01 单-集合的新定义运算

本题导读

本题核心考查集合的新定义运算，重点在于理解描述法所表达的集合含义，并通过列举法计算出所有可能的结果，最后利用集合中元素的互异性去重，确定元素的个数。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(理)）

1. 设 $P、Q$ 为两个非空实数集合，定义集合 $P+Q=\{a+b\mid a\in P,b\in Q\}$，若 $P=\{0,2,5\}$, $Q=\{1,2,6\}$，则 $P+Q$ 中元素的个数是 ()

A. 9　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 7　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解新定义：集合 $P+Q$ 的元素是由集合 $P$ 中的每一个元素 $a$ 分别与集合 $Q$ 中的每一个元素 $b$ 相加所得到的和。
2. 穷举求和：由于 $P$ 和 $Q$ 分别含有 3 个元素，相加的组合共有 $3\times 3=9$ 种，依次计算出这 9 个和。
3. 去重计数：根据集合中元素的互异性（相同的元素只能算作一个），剔除重复的数值，得出最终的元素个数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：穷举计算所有和的可能性 已知 $P=\{0,2,5\}$, $Q=\{1,2,6\}$。我们将 $a\in P$ 与 $b\in Q$ 的所有组合相加：

• 当 $a=0$ 时： $0+1=1$ $0+2=2$ $0+6=6$

• 当 $a=2$ 时： $2+1=3$ $2+2=4$ $2+6=8$

• 当 $a=5$ 时： $5+1=6$ $5+2=7$ $5+6=11$

• 第二步：列举集合并去重 把上面计算出的所有结果写入集合中： $P+Q=\{1,2,6,3,4,8,6,7,11\}$ 观察发现，数字 6 出现了两次（分别由 $0+6$ 和 $5+1$ 得到）。 根据集合中元素的互异性，去掉重复的元素 6，将集合按从小到大的顺序排列为： $P+Q=\{1,2,3,4,6,7,8,11\}$

• 第三步：数出元素个数 去重后，集合 $P+Q$ 中共含有 8 个互不相同的元素。

故 (B) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合元素的互异性、新定义运算的规则转化。
2. 核心方法：双重循环列举法。
3. 避坑指南：

• 切勿直接用乘法原理得出答案。很多考生看到 $P$ 有 3 个元素， $Q$ 有 3 个元素，便想当然地认为共有 $3\times 3=9$ 个元素而误选 (A)。务必记住，新定义运算生成的集合必须检验是否存在重复元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年湖北高考数学理科第 1 题，是新定义运算这一题型在早期高考中的典型呈现，难度较低，侧重考查概念理解与细心程度。
2. 结论推广：集合的这种加法运算在高等数学（如线性代数、闵可夫斯基和）中被称为“集合的和（Minkowski Sum）”。一般地，若有限集 $A,B$ 的元素个数分别为 $|A|,|B|$，则它们和集的元素个数满足 $|A+B|⩽|A|\times |B|$，当且仅当所有相加的组合结果均不相同时等号成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)