2001-上海卷理-10 填-新定义运算

本题导读

本题考查新定义运算，以及运算律的代数构建。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 若记号“$\ast$”表示求两个实数 $a$ 与 $b$ 的算术平均数的运算，即 $a\ast b=\frac{a+b}{2}$，则两边均含有运算符号“$\ast$”和“$+$”，且对于任意 3 个实数 $a$、 $b$、 $c$ 都能成立的一个等式可以是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解新定义运算的性质： $a\ast b=\frac{a+b}{2}$ 是一个线性组合运算。它满足交换律（ $a\ast b=b\ast a$），但不满足结合律。
2. 分析条件限制：

• 必须包含 3 个任意实数 $a,b,c$；
• 等号左、右两边均必须同时含有“$\ast$”和“$+$”两个符号。

3. 构造运算律（以乘法对加法的分配律为灵感）：

• 尝试构建类似分配律的形式，如： $(a+b)\ast c$。
• 展开左边： $(a+b)\ast c=\frac{(a+b)+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$。
• 尝试凑出右边的形式，使其既包含“$+$”又包含“$\ast$”，例如： $(a\ast c)+(b\ast c)$ 或类似结构。
• 检验 $(a\ast c)+(b\ast c)$ 的展开： $\frac{a+c}{2}+\frac{b+c}{2}=\frac{a+b+2c}{2}$。由于分子多了一个 $c$，两边不相等。

4. 修正构造式：

• 重新调整结构，尝试改变“$\ast$”和“$+$”的内外层级。
• 尝试左边为： $(a\ast b)+c=\frac{a+b}{2}+c=\frac{a+b+2c}{2}$。
• 尝试右边为： $(a+c)\ast (b+c)=\frac{(a+c)+(b+c)}{2}=\frac{a+b+2c}{2}$。
• 比较两边发现完全相同，且两边均完美符合同时包含“$\ast$”和“$+$”的条件。

✅【答案】

Success

$(a\ast b)+c=(a+c)\ast (b+c)$

✍【详细解析】

Abstract

构造左端表达式并代数展开 选择将“$\ast$”放在内层，“$+$”放在外层的结构，构造左边代数式： $\text{Left}=(a\ast b)+c$ 根据新定义运算 $a\ast b=\frac{a+b}{2}$，将左端写成普通的加法分式形式： $\text{Left}=\frac{a+b}{2}+c=\frac{a+b+2c}{2}$

配凑右端表达式并验证相等性 目标是构造一个右端表达式，使其同样含有“$\ast$”和“$+$”，且展开后的普通代数式也为 $\frac{a+b+2c}{2}$。 注意到分子中的 $2c$ 可以拆分为 $c+c$，从而将分子分子重组为： $\frac{a+b+2c}{2}=\frac{(a+c)+(b+c)}{2}$ 根据新定义运算的映射规则， $\frac{X+Y}{2}=X\ast Y$。 令 $X=a+c$， $Y=b+c$，上式可直接逆向写为： $\frac{(a+c)+(b+c)}{2}=(a+c)\ast (b+c)$ 因此，设定右端表达式为： $\text{Right}=(a+c)\ast (b+c)$

符号合规性复核

• 左边： $(a\ast b)+c$，含有运算符号“$\ast$”和“$+$”；
• 右边： $(a+c)\ast (b+c)$，含有运算符号“$\ast$”和“$+$”；
• 恒等性：对任意实数 $a,b,c$，由于 $\frac{a+b+2c}{2}=\frac{a+b+2c}{2}$ 严格成立。

该等式完全符合题目规定的所有限界条件。

$(a\ast b)+c=(a+c)\ast (b+c)$

💡 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：新定义运算性质的变式推导；代数算理中基本运算律的逆向构造。
2. 核心方法：逆向配凑法（等积/等和变形）。
3. 避坑指南：

• 符号遗漏陷阱：部分学生构造出 $(a+b)\ast c=\frac{a+b+c}{2}$ 后，右边尝试写成普通的算术式 $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}$。虽然代数上相等，但因为右边没有包含新定义符号“$\ast$”，不符合“两边均含有运算符号‘$\ast$’和‘$+$’”这一刚性限制条件而导致失分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算的理解与代数恒等式的构造；算术平均数 $a\ast b=\frac{a+b}{2}$ 的对称性与线性结构；含“$\ast$”与“$+$”的运算封闭性分析。

核心方法：从内层“$\ast$”外层“$+$”入手构造左式，展开为 $\frac{a+b+2c}{2}$；再拆分配凑 $2c=c+c$，逆用定义写成 $(a+c)\ast (b+c)$，实现“左推右”的恒等构造。

避坑指南：等式两边必须同时含“$\ast$”和“$+$”两种符号，缺一不可；注意“$\ast$”不满足结合律与分配律，切勿套用普通乘法规律；构造后需代回验证对任意 $a,b,c$ 恒成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于创新题型中的新定义算理构造题，取材于抽象代数（Abstract Algebra）中关于近世代数系统（Algebraic System）中“运算流”分配性质的初等化模型。
2. 结论推广： 本题所求得的特殊恒等式 $(a\ast b)+c=(a+c)\ast (b+c)$，本质上展现了普通加法对算术平均数运算的右分配律。 更一般地，如果定义一种非标准算术叠加态算子 $⟨x,y{⟩}_{\lambda }=\lambda x+(1-\lambda )y$，则普通加法运算对该算子恒满足广义分配不变量方程： $⟨a,b{⟩}_{\lambda }+c=⟨a+c,b+c{⟩}_{\lambda }$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1987-上海-25 解-集合的运算
• 2005-全国卷III理-12 单-进位计数制
• 2005-湖北卷理-01 单-集合的新定义运算