2005-湖北卷文-12 单-三种抽样方案的判定

本题导读

本题考查简单随机抽样、分层抽样与系统抽样的特征辨析，以及样本数据的归属判断。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 某初级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人．现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1，2，$\cdots$，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号 1，2，$\cdots$，270，并将整个编号依次分为 10 段．如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是()

A. ②、③都不能为系统抽样　　　　　　　B. ②、④都不能为分层抽样

C. ①、④都可能为系统抽样　　　　　　　D. ①、③都可能为分层抽样

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分层按 $4:3:3$ 数各段人数：①②③均为 4,3,3，④为 3,3,4。
2. 系统抽样验公差 27：①③是等差，②④不是。
3. 逐项判选项，D 对。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

按年级编号后，三个年级对应的编号区间分别为 $[1,108]$，$[109,189]$，$[190,270]$．分层抽样按人数比例抽取 10 人，应在三个年级分别抽取 4，3，3 人．样本①和样本③的三个区间内人数均为 4, 3, 3，所以二者都可能是分层抽样；样本②的区间人数也是 4, 3, 3，而样本④的人数为 3, 3, 4，故样本④不可能是按比例分层抽样． 系统抽样时每段有 $270÷10=27$ 个编号，样本必须形如 $r,r+27,\cdots ,r+9\times 27$，其中 $1⩽r⩽27$．样本①和样本③分别对应 $r=7$ 和 $r=11$，均可能为系统抽样；样本②不是公差为 27 的等差数列，样本④缺少第一段 $[1,27]$ 内的编号且尾差为 24，也不可能为系统抽样．因此只有”①、③都可能为分层抽样”正确，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三种抽样方案的判定

核心方法：按编号区间数人数 + 系统抽样验公差 27

避坑指南：分层看三段人数是否 $4,3,3$；系统看是否公差 $27$ 的等差数列且 $r⩽27$——逐样本核对

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 抽样方法

结论推广：分层按比例 $4:3:3$ 核对各区间人数；系统抽样验公差 $\frac{270}{10}=27$

方法推广：判定抽样类型：分层看”各层占比”，系统看”等距”——两把尺子分别量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III文-14 填-抽样方法
• 2009-大纲Ⅱ文-20 解-分层抽样与概率
• 2006-全国卷II理-16 填-分层抽样方法