2005-浙江卷文-18 解-线面平行判定与线面角

本题导读

本题考查线面平行的判定定理，以及等体积法求点到平面距离进而求线面角。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB\perp BC$，$AB=BC=\frac{1}{2}PA$，点 $O$、$D$ 分别是 $AC$、$PC$ 的中点，$OP\perp$ 底面 $ABC$．

(1) 求证：$OD\parallel$ 平面 $PAB$；

(2) 求直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 中位线 $OD\parallel AP$，再交代 $OD\not\subset$ 平面 $PAB$。 (2) 设 $AB=s$，等体积法求 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离 $d$，则 $\sin \theta =\frac{d}{PA}$。

✅【答案】

Success

所以sin θ=ℎs22s⋅s2√152=ℎs√15= √7

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△PAC$ 中，$O$、$D$ 分别是 $AC$、$PC$ 的中点，由中位线定理得 $OD\parallel AP$．又 $AP\subset$ 平面 $PAB$，而 $OD\not\subset$ 平面 $PAB$（平面 $PAB$ 与底面 $ABC$ 的交线为 $AB$，$O$ 是 $AC$ 的中点，不在 $AB$ 上，故 $O\notin$ 平面 $PAB$），因此 $OD\parallel$ 平面 $PAB$． (2) 设 $AB=BC=s$（$s>0$），则 $PA=2s$．由 $AB\perp BC$ 得 $AC=s\sqrt{2}$，$O$ 为 $AC$ 中点，$OA=\frac{s\sqrt{2}}{2}$．由 $OP\perp$ 底面 $ABC$ 得 $O{P}^2=P{A}^2-O{A}^2=4s^2-\frac{s^2}{2}=\frac{7s^2}{2}$，即 $OP=s\sqrt{\frac{7}{2}}$． $S_{△ABC}=\frac{s^2}{2}$，故 $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{s^2}{2}\cdot s\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{s^3}{6}\sqrt{\frac{7}{2}}$． 由 $OB$ 是 $\mathrm{Rt}△ABC$ 斜边上的中线得 $OB=\frac{s\sqrt{2}}{2}$，故 $P{B}^2=O{B}^2+O{P}^2=\frac{s^2}{2}+\frac{7s^2}{2}=4s^2$，即 $PB=PC=2s$．以 $B$ 为原点、$BA$、$BC$ 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，$B(0,0)$，$C(0,s)$，$O(\frac{s}{2},\frac{s}{2})$，则 $P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $\sqrt{(\frac{s}{2}{)}^2+O{P}^2}=\sqrt{\frac{s^2}{4}+\frac{7s^2}{2}}=\frac{s\sqrt{15}}{2}$，故 $S_{△PBC}=\frac{1}{2}\cdot s\cdot \frac{s\sqrt{15}}{2}=\frac{s^2\sqrt{15}}{4}$． 由 $V_{A-PBC}=V_{P-ABC}=\frac{s^3}{6}\sqrt{\frac{7}{2}}$，得 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离 $d=\frac{3V_{A-PBC}}{S_{△PBC}}=\frac{\frac{s^3}{2}\sqrt{\frac{7}{2}}}{\frac{s^2\sqrt{15}}{4}}=\frac{2s\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{15}}.$ 设直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{d}{PA}=\frac{2s\sqrt{\frac{7}{2}}}{2s\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{7}{30}}$，故所成角为 $\arcsin \sqrt{\frac{7}{30}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行判定与线面角

核心方法：中位线平移证线面平行，向量法求线面角

避坑指南：线面平行要交代”直线在平面外”；$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\vec{n}|}$ 分母是两个模的乘积，漏平方根是主要失分点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何

结论推广：中位线是证线面平行的首选工具；线面角用向量法 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$ 免去找射影

方法推广：向量法建系后所有点坐标要回代检验；线面角取正弦（不是余弦）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

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• 2017-全国卷II文-18 解-线面平行