2005-全国卷II理-01 单-辅助角公式

本题导读

本题核心考查含有绝对值的正弦型函数的最小正周期。通过辅助角公式将多项三角函数化简为单项正弦型函数，再结合绝对值图象变换规律确定其周期。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 函数 $f(x)=|\sin x+\cos x|$ 的最小正周期是()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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1. 利用辅助角公式将绝对值内部的 $\sin x+\cos x$ 化简为标准正弦型函数 $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。
2. 根据正弦函数加绝对值后的图象变换规律（将 $x$ 轴下方部分翻折到 $x$ 轴上方），分析周期变化情况。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$， 所以原函数可化简为： $f(x)=\left|\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|=\sqrt{2}\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$

因为函数 $y=\sin x$ 的最小正周期为 $2\pi$，而加上绝对值后，函数图象位于 $x$ 轴下方的波谷全部翻折到 $x$ 轴上方，使得图形的重复间隔减半。 因此，函数 $y=|\sin x|$ 的最小正周期为 $\pi$。 而自变量的平移变换 $x\to x+\frac{\pi }{4}$ 与整体乘以常数 $\sqrt{2}$ 均不改变函数的固有周期。 所以，原函数 $f(x)=|\sin x+\cos x|$ 的最小正周期为 $\pi$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$、绝对值正弦函数 $y=|A\sin (\omega x+\phi )|$ 的周期公式 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：整体变换分析法。
3. 避坑指南：容易盲目套用未加绝对值时的三角函数周期公式得出 $2\pi$，忽略了外部绝对值带来的翻折变换导致周期折半的效果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中三角函数复合变换的基本性质，重点检测学生对翻折变换如何引发函数整体性质（如周期性、对称性）改变的理解。
2. 结论推广：对于一般的正弦型或余弦型函数 $g(x)=|A\sin (\omega x+\phi )+B|$，若 $B=0$，则其最小正周期公式坍缩为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$；若 $B\ne 0$ 且 $|B|<|A|$，则其最小正周期仍保持为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)