2005-全国卷II文-01 单-辅助角公式求最小正周期

本题导读

本题考查辅助角公式与含绝对值函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 函数 $f(x)=|\sin x+\cos x|$ 的最小正周期是()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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1. 用辅助角公式合并 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。
2. 取绝对值后 $\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$ 的周期是 $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的一半。
3. $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 周期 $2\pi$，故所求周期为 $\pi$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$， 故 $f(x)=\sqrt{2}\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$． $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最小正周期为 $2\pi$，取绝对值后图象在 $x$ 轴下方的部分翻到上方，周期减半为 $\pi$． （也可验证：$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$，而 $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=0$，故 $\frac{\pi }{2}$ 不是周期） 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式求最小正周期

核心方法：$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，取绝对值后最小正周期为 $\pi$

避坑指南：含绝对值时周期会减半：$\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$ 的周期是 $\pi$ 不是 $2\pi$；验证 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$ 而 $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=0$ 排除 $\frac{\pi }{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 是 2005 全国卷的常规起点题

结论推广：一般地 $\left|\sin (\omega x+\phi )\right|$ 的最小正周期是 $\sin (\omega x+\phi )$ 的一半

方法推广：遇 $|\sin x+\cos x|$ 先辅助角合并，再按绝对值减半周期

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-01 填-三角函数周期
• 2008-浙江文-02 单-三角化简求周期
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期