2004-北京春文-01 单-三角函数最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的最小正周期。

📌【题干】

Question

在函数 $y=\sin 2x$，$y=\sin x$，$y=\cos x$，$y=\tan \frac{x}{2}$ 中，最小正周期为 $\pi$ 的函数是（　　） A. $y=\sin 2x$　B. $y=\sin x$ C. $y=\cos x$　D. $y=\tan \frac{x}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin 2x$ 周期 $\frac{2\pi }{2}=\pi$。
2. $\sin x$、$\cos x$ 周期 $2\pi$。
3. $\tan \frac{x}{2}$ 周期 $\frac{\pi }{1/2}=2\pi$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

正弦函数 $y=\sin kx$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{|k|}$，故 $y=\sin 2x$ 的周期为 $\frac{2\pi }{2}=\pi$；而 $y=\sin x$、$y=\cos x$ 的周期均为 $2\pi$．正切函数 $y=\tan \frac{x}{2}$ 的周期为 $\frac{\pi }{1/2}=2\pi$．因此最小正周期为 $\pi$ 的是 $y=\sin 2x$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数最小正周期

核心方法：$\sin 2x$ 周期 $\frac{2\pi }{2}=\pi$；$\sin x,\cos x$ 周期 $2\pi$；$\tan \frac{x}{2}$ 周期 $\frac{\pi }{1/2}=2\pi$

避坑指南：$\sin kx$ 周期 $\frac{2\pi }{|k|}$、$\tan kx$ 周期 $\frac{\pi }{|k|}$；$\tan \frac{x}{2}$ 周期是 $2\pi$ 不是 $\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角函数的周期，教材”三角函数的图象与性质”

结论推广：一般化：$y=\sin kx$ 周期 $\frac{2\pi }{|k|}$、$y=\tan kx$ 周期 $\frac{\pi }{|k|}$

方法推广：先化同名确定自变量的系数 $k$，再套周期公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-09 填-三角函数最小正周期
• 2005-全国卷II文-01 单-辅助角公式求最小正周期
• 2006-全国卷II文-03 单-二倍角求最小正周期

专题合集 (Series)