2005-上海卷文-17 解-长方体异面直线角

本题导读

本题考查长方体中异面直线所成角的求解，核心在于通过中点平移把异面直线化为共面相交直线。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 已知长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M$、$N$ 分别是 $B{B}_1$ 和 $BC$ 的中点，$AB=4$，$AD=2$，$B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小为 $60^{\circ }$，求异面直线 $B_{1}D$ 与 $MN$ 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $M$、$N$ 分别为 $B{B}_1$、$BC$ 中点 $\Rightarrow MN\parallel B_{1}C$，$\angle D{B}_{1}C$ 即所求角。
2. $BD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；线面角 $60^{\circ }$ 给 $B_{1}B=BD\tan 60^{\circ }=2\sqrt{15}$。
3. $DC\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C\Rightarrow DC\perp B_{1}C$；$B_{1}C=\sqrt{60+4}=8$，$\tan \angle D{B}_{1}C=\frac{DC}{B_{1}C}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$arctan12$

✍【详细解析】

Abstract

联结 $B_{1}C$．由 $M$、$N$ 分别是 $B{B}_1$、$BC$ 的中点，得 $MN\parallel B_{1}C$，故 $\angle D{B}_{1}C$ 就是异面直线 $B_{1}D$ 与 $MN$ 所成的角． 联结 $BD$．在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中，$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$． 因 $B_{1}B\perp$ 平面 $ABCD$，故 $\angle B_{1}DB$ 是 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角，$\angle B_{1}DB=60^{\circ }$，于是 $B_{1}B=BD\tan 60^{\circ }=2\sqrt{15}$． 因 $DC\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，所以 $DC\perp B_{1}C$，$△D{B}_{1}C$ 为直角三角形． $B_{1}C=\sqrt{B_1{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{60+4}=8$（$BC=AD=2$）． 故 $\tan \angle D{B}_{1}C=\frac{DC}{B_{1}C}=\frac{AB}{B_{1}C}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即异面直线 $B_{1}D$ 与 $MN$ 所成角的大小为 $\arctan \frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体异面直线角

核心方法：平移法：$B_{1}C\parallel MN$，$\angle D{B}_{1}C$ 即所求，用三次直角三角形解之

避坑指南：异面直线所成角为锐角或直角，反三角表示时先算 $\tan$ 再定角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体中异面直线成角是立体几何角专题经典

结论推广：中点平移 $B_{1}C\parallel MN$ 是异面角化的通法

方法推广：三次直角三角形递推求边，最后取正切

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-17 解-三棱锥的体积
• 2018-全国卷II理-09 单-空间直角坐标系