2004-北京春文-08 单-长方体对角线最值

本题导读

本题考查长方体的对角线，以及拼接后对角线的最值。

📌【题干】

Question

两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 $5$ cm，$4$ cm，$3$ cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（　　） A. $\sqrt{77}$ cm　B. $7\sqrt{2}$ cm C. $5\sqrt{5}$ cm　D. $10\sqrt{2}$ cm

🔍【思路分析】

破题导航

1. 沿不同方向拼接，新长方体三棱长为 $(10,4,3)$、$(5,8,3)$、$(5,4,6)$。
2. 对角线平方分别为 $125,98,77$。
3. 最大 $125$，对角线 $5\sqrt{5}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

两个相同长方体沿某一方向拼接后仍为长方体，新长方体的三条棱长可能为 $(10,4,3)$、$(5,8,3)$ 或 $(5,4,6)$ cm．相应的对角线长的平方分别为 $10^2+4^2+3^2=125$，$5^2+8^2+3^2=98$，$5^2+4^2+6^2=77$．最大值为 $125$，故最长对角线长为 $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ cm，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体对角线最值

核心方法：两长方体拼接后棱长为 $(10,4,3)$ 或 $(5,8,3)$ 或 $(5,4,6)$；对角线平方 $125,98,77$，最长 $5\sqrt{5}$

避坑指南：沿不同方向拼接棱长不同，逐一算对角线平方取最大；最大 $125=10^2+4^2+3^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于长方体的对角线，教材”空间几何体”

结论推广：一般化：长方体对角线 $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，拼接后枚举三种棱长

方法推广：沿不同方向拼接，逐一算对角线平方取最大

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2007-重庆文-20 解-框架围长方体体积最值
• 2005-上海卷文-17 解-长方体异面直线角

专题合集 (Series)